Metodi immersed boundary ai volumi finiti centrali per il sistema shallow water

This work deals with Immersed Boundary methods related to the numerical resolution of PDEs by means of finite volume schemes in two spatial dimensions. The Immersed Boundary approach consists in a particular representation of the computational domain (even with a complex shape) and a special treatment of the boundary conditions in order to avoid the mesh generation procedure, thus allowing the use of structured meshes. Specifically, the standard application of a finite volume method remains unchanged even though points outside the domain in the stencil of an intern cell are present. These external points are called ghost points to which ghost values are assigned depending on the boundary conditions and the local shape of the domain, thus allowing the implementation of a numerical scheme as if all the cells were in the domain. This work tests the numerical code, implemented in C++ language, with the Shallow Water system in a cartesian grid with squared cells using a central second order semidiscrete finite volume method coupled with a Runge Kutta ODE solver for the time evolution. The resultant fully discrete scheme is positivity preserving and well balanced. Several numerical simulations which test the Immersed Boundary approach are shown and offer a basis for future developments.

Questo lavoro di tesi riguarda i metodi di tipo Immersed Boundary con particolare riferimento alla risoluzione numerica di sistemi di EDP mediante schemi ai volumi finiti in due dimensioni spaziali. L'approccio Immersed Boundary consiste in una particolare rappresentazione del dominio computazionale (di forma anche complessa) e ad una conseguente implementazione delle condizioni al bordo che eviti la procedura di generazione di griglia permettendo di lavorare con griglie strutturate. Più nel dettaglio l'applicazione di un metodo classico ai volumi finiti non risulta alterata dalla presenza di un punto esterno al dominio nello stencil di una cella interna ad esso. Questi punti esterni vengono denominati ghost points ai quali vengono attribuiti valori fittizi sulla base delle condizioni al contorno e della forma locale del dominio consentendo l'applicazione inalterata dello schema numerico come se tutte le celle fossero interne. In questo lavoro viene testato il codice numerico, implementato in linguaggio C++, applicato al sistema Shallow Water su una griglia cartesiana con celle quadrate tramite l'impiego di un metodo semidiscreto centrato del secondo ordine accoppiato ad un solutore Runge Kutta per l'evoluzione temporale. Per le caratteristiche del sistema lo schema è costruito in modo che preservi la positività dell'altezza dell'acqua e bilanci il termine sorgente per il mantenimento esatto degli stati stazionari di quiete. Vengono presentate numerose simulazioni numeriche che testano l'approccio Immersed Boundary e forniscono buoni spunti per sviluppi futuri.