Non-conforming high order methods for the elastodynamics equation

The study and development of high-order methods for simulating elastic wave propagation in seismic regions has been subjected to a tremendous growth, occurred in the past ten years. Recent developments in computational seismology have been based on numerical strategies as finite differences, boundary element methods and, more recently, spectral element (SE) methods. SE methods are based on high-order Lagrangian interpolants sampled at the Gauss-Legendre-Lobatto quadrature points, and combine the flexibility of finite elements with the accuracy of spectral techniques. Since they are based on the weak formulation of the elastodynamics equations, they handle naturally both interface continuity and free boundary conditions, allowing very accurate resolutions of evanescent interface and surface waves. Moreover, SE methods retain a high level parallel structure, thus are well suited for massively parallel computations. The main drawback of SE methods is that they require a uniform polynomial order on the whole computational domain, and this can lead to an unreasonably large computational effort, in particular in regions where a fine mesh grid is needed already to describe accurately the domain geometry. Therefore, it can be more adequate in some cases to use a lower order method in the small elements to reduce the CPU effort without loosing much accuracy. Non-conforming high-order techniques, like the Discontinuous Galerkin Spectral Element (DGSE) or the Mortar Spectral Element (MSE) methods, allow to treat locally varying polynomial degrees of the basis functions, so-called p-adaptivity, as well as locally varying mesh size on the computational domain, h-adaptivity. The hp-adaptive version of these schemes is useful in complex 2 and 3-d models with small-scale features which have to be meshed with reasonably small elements to capture the necessary geometrical details of interest. In this thesis, we present a new discretization approach to combine the DGSE and MSE methods with suitable time advancing schemes for the simulation of wave propagations in heterogeneous media. To overcome the limitations of the existing approaches we will apply the non-conforming paradigm only at subdomain level (not elementwise). We will show that the resulting formulations are stable, provide optimal approximation properties, and suffer from low dispersion and dissipation errors. Applications of the DGSE and MSE methods to simulate realistic seismic wave propagation problems are also analyzed.

Lo studio e lo sviluppo di metodi di alto ordine per la simulazione della propagazione di onde elastiche in regioni sismiche ha subito una forte crescita, specialmente negli ultimi dieci anni. Recenti sviluppi in sismica computazionale hanno coinvolto tecniche numeriche come metodi alle differenze finite, metodi agli elementi di contorno e, più recentemente, metodi agli elementi spettrali. Quest'ultimi sfruttano interpolanti Lagrangiane di alto ordine, campionate nei nodi di quadratura di Gauss-Legendre-Lobatto, e combinano la flessibilità dei metodi agli elementi finiti con l'accuratezza delle approssimazioni spettrali. Dal momento che si basano sulla formulazione variazionale dell'equazione dell'elastodinamica, i metodi agli elementi spettrali permettono di trattare agevolmente sia condizioni di continuità all'interfaccia che condizioni di superficie libera, garantendo una elevata accuratezza nell'approssimazione di onde superficiali. Inoltre possedendo intrinsecamente una struttura parallela di alto livello sono naturalmente predisposti per il calcolo parallelo ad alta prestazione. I metodi agli elementi spettrali hanno però uno svantaggio. L'utilizzo di un grado polinomiale uniforme in tutto il dominio computazionale può portare infatti ad un eccessivo e non motivato costo computazionale, specialmente nelle regioni dove una griglia molto fine è necessariamente utilizzata per descrivere la geometria del dominio. Per questo motivo può essere più conveniente, in alcuni casi, utilizzare un grado polinomiale basso su elementi di taglia piccola, riducendo il carico computazionale ma preservando l' accuratezza. Tecniche di approssimazione non conformi di alto ordine, come i metodi agli elementi spettrali Discontinuous Galerkin e Mortar, permettono di usare nel dominio computazionale sia polinomi Lagrangiani di grado differente (p-adattività) che elementi della mesh di taglia differente (h-adattività). La versione hp-adattiva è vantaggiosa per modelli complessi in 2 o 3 dimensioni contenenti dettagli di piccola scala che devono essere discretizzati ragionevolmente (con elementi di piccola taglia) per catturare in modo preciso le loro caratteristiche geometriche. In questa tesi viene presentato uno nuovo approccio di discretizzazione che sfrutta i metodi Discontinuous Galekin e Mortar assieme ad opportuni schemi temporali per la simulazione di onde sismiche in mezzi eterogenei. Per superare le limitazioni di queste tecniche, già presenti in letteratura, viene applicato il paradigma non conforme solo a livello di decomposizione in sottodomini (non a livello di elemento della mesh). Viene inoltre dimostrato come le formulazioni risultanti da questo tipo di approccio siano stabili, abbiano ottime proprietà di convergenza e garantiscano trascurabili errori di dispersione e dissipazione. Infine i metodi studiati vengono applicati per la simulazione della propagazione di onde sismiche in scenari realistici.