Polynomial approximation of PDEs with stochastic coefficients

In this thesis we focus on PDEs in which some of the parameters are not known exactly but affected by a certain amount of uncertainty, and hence described in terms of random variables/random fields. This situation is quite common in the engineering practice. A common goal in this framework is to compute statistical indices, like mean or variance, for some quantities of interest related to the solution of the equation at hand (``uncertainty quantification''). The main challange in this task is represented by the fact that in many applications tens/hundreds of random variables may be necessary to obtain an accurate representation of the solution. The numerical schemes adopted to perform the uncertainty quantification should then be designed to reduce the degradation of their performance whenever the number of parameters increases, a phenomenon known as ``curse of dimensionality''. Two methods that seem promising in this sense are the Stochastic Galerkin method and the Stochatic Collocation method. Such methods have therefore recently attracted the interest of the uncertainty quantification community, and have proved to be more effective than sampling methods like Monte Carlo, at least for problems with a moderate number of random parameters. We will compare in detail these methods, and then propose for both suitable generalizations that have shown to be optimal in terms of accuracy per cost for particular problems. We will also introduce the idea of Generalized Spectral Decomposition for the Stochastic Galerkin method, and explore its application in the context of non scalar equations, focusing on the case of the stationary Navier-Stokes equations. Finally, we will show two applications of the Stochastic Collocation method in the geological and hydraulic engineering.

In questo lavoro di tesi si considerano EDP in cui alcuni parametri non sono noti con precisione ma caratterizzati da un certo grado di incertezza, e di conseguenza descritti in termini di variabili aleatorie/campi stocatici, una situazione frequente nelle applicazioni ingegneristiche. In questi casi, un obiettivo comune e' quello di calcolare indicatori statistici come media o varianza per alcune quantita' di interesse legate alla soluzione dell'equazione considerata (``Quantificazione dell'Incertezza''). L'ostacolo principale e' rappresentato dal fatto che in molte applicazioni potrebbero essere necessarie decine/centinaia di variabili aleatorie per ottenere una rappresentazione accurata della soluzione. Gli schemi numerici utilizzati devono quindi essere progettati per limitare il peggioramento delle prestazioni all'aumentare del numero di parametri, un fenomeno noto come ``Maledizione della Dimensionalita' ''. Due metodi promettenti in tal senso sono il metodo di Galerkin Stocastico e il metodo di Collocazione Stocastica. Tali metodi hanno percio' di recente attirato l'attenzione della comunita' scientifica, e hanno mostrato di essere piu' efficienti di metodi di campionamento quali il metodo Monte Carlo, almeno per problemi con un moderato numero di parametri aleatori. Questi metodi verranno confrontati in dettaglio, e verranno quindi proposte opportune generalizzazioni che hanno mostrato di essere ottimali in termini di accuratezza a parita' di costo per particolari problemi. Introdurremo anche l'idea di Decomposizione Spettrale Generalizzata per il metodo di Galerkin Stocastico, ed esploreremo la sua applicazione nell'ambito di equazioni non scalari, concentrandoci sul caso delle equazioni di Navier-Stokes stazionarie. Infine mostreremo due applicazioni del metodo di Collocazione Stocastica nel campo dell'ingegneria geologica ed idraulica.