Metodi basati sulla randomizzazione per il controllo in ambito stocastico con vincoli sull'ingresso e sullo stato

The objective of this thesis is to develop efficient methods for solving finite-horizon stochastic control problems with constraints on the input variable (saturation) and on the state variable (safety condition). The presence of an additive disturbance on state with possibly unbounded support is explicitly taken into account in the formulation of constrained optimization problems. The issued chance-constrained optimization problems is solved thanks to the scenario approach, a recently introduced methodology which provides approximate solutions with solid guaranties on their qualities at a relatively low computational cost. The thesis is structured around the following themes. Considering the problem with constraints on the control variable only, we analyze an approach that allows robust constraints satisfaction and we introduce an approach with chance-constraints, which is solved by using the scenario approach. The various approaches are extensively compared through examples. Considering the problems with also constraints on the state, we propose and analyze two innovative approaches, where a reformulation of the constraints is introduced to make the chance-constrained problems always feasible. Again the scenario approach is used in order to solve them. A theoretical study of the properties of the approaches proposed in the case of state constraints is given, showing both the behavior in correspondence of different setups and the strong bond between the two methods. We apply the various presented techniques on a mechanical system considering a finite time horizon, and either by applying the receding horizon technique to extend the control to a possibly infinite horizon.

L'obiettivo di questo lavoro di tesi è sviluppare metodi per la risoluzione efficiente di problemi di controllo su orizzonte finito in ambito stocastico in presenza di vincoli sia sulle variabili di controllo (saturazione) sia sulle variabili di stato (condizioni sulla sicurezza del sistema). Il problema viene impostato come un problema di ottimizzazione in probabilità (ottimizzazione chance-constrained) in modo tale da tenere conto della presenza del disturbo additivo agente sullo stato senza fare ipotesi sul suo supporto che quindi può essere anche non limitato. I problemi di ottimizzazione di tipo chance-constrained che vengono formulati vengono risolti mediante l'applicazione dell'approccio a scenario, una tecnica recentemente introdotta che permette di ottenere soluzioni approssimate, ma con solide garanzie sullo loro qualità ad un costo computazionale relativamente ridotto. L'elaborato di tesi si articola attorno alle seguenti tematiche. Dapprima si considera il problema con vincoli solo sulla variabile di controllo. Si analizza un approccio che consente il rispetto dei vincoli in modo robusto e viene proposto un approccio con vincoli in probabilità la cui risoluzione è ottenuta mediante l'approccio a scenario. Viene presentata un'estesa analisi comparativa dei metodi. Considerando problemi in cui vi sono vincoli anche sullo stato, si propongono ed analizzano due approcci innovativi: in entrambi si riformulano i vincoli per rendere i problemi di tipo chance-constrained sempre feasible e si fa nuovamente uso della tecnica a scenario per la loro risoluzione. Si effettua uno studio teorico delle proprietà degli approcci proposti nel caso di vincoli sullo stato, caratterizzando sia il comportamento al variare dei loro parametri sia il forte legame presente tra i due metodi. Le diverse tecniche presentate vengono applicate ad su un sistema meccanico al fine di validarle su un esempio concreto. La validazione è effettuata sia considerando un orizzonte di tempo finito, sia applicando la tecnica receding horizon per estendere il controllo ad un orizzonte più ampio, eventualmente infinito.