Systematic state dependent Riccati equation optimal control applied to a rendezvous and docking procedure

The linear optimal control theory brought a lot in many fields, by providing proven methods that can be applied to several systems, the class of linear/linearized systems, in order to reach an optimal behavior according to the requirement defined by the control designer. During the last two decades, several studies aimed to develop similar methods that can be used for a larger class of systems, by taking in account the non linearities. This is the principle of the State Dependent Riccati Equation method. The first step of this method is to give a parameterization of the control problem, that is to say to go from a system where the governing equations are known to a specific factorized structure, with a matrix multiplying a vector composed by the parameters to control. This matrix is not easy to obtain and generally implies to manipulate the equations to find a proper expression. Besides, this matrix is not unique, fact which imposes a selection process. The aim of this study is to propose a systematic method which takes a set of equations to produce a parameterization, without the need to rewrite the equations in a proper way. For that, the approximation of the system equations was considered. Indeed, by having a polynomial expression of the equations, the factorization, even if non unique, is really easy. Thus a large part of this study was to evaluate the loss of information due to this approximation and justify the relevancy of the systematic method. A second part was dedicated to the selection process among the obtained parameterization in order to give to the control designer the values he will need to choose among the different possibilities. Among the different space problems, the space navigation is already subjected to research for SDRE control application, including rendezvous and docking procedures. The systematic method had been implemented in a SDRE rendezvous solver developed during a previous thesis, in order to prove the efficiency of the method by comparing the performances of the systematic parameterization with the ones obtained by the exact parameterization considered in the solver. Unfortunately, the simulations showed that this specific problem was not the best application since the impact of the parameterization is negligible face to the control law to follow. Because of that, any parameterization, even null, was reaching the same performances. But in any case, the systematic method code, justified with theoretical considerations, is developed and can be tested on another control problem.

I metodi di controllo ottimo per sistemi lineari sono stati molto importanti in diversi campi, dando la possibilità di controllare una grande classe di sistemi in modo ottimale, facendo in modo cioè che il sistema segua la prestazione imposta dal progettista. Gli ultimi decenni hanno visto lo sviluppo di tanti metodi adatti per sistemi più complessi tenendo in conto anche le non linearità. Questo è anche l’obiettivo del metodo ‘State Depedent Riccati Equation”. Il primo passo consiste nella parametrizzazione del problema di controllo, è necessario cioè di trasformare le equazioni del sistema in una forma fattorizzata: in forma matriciale il sistema viene rappresentato da una matrice moltiplicata per il vettore dei parametri da controllare. Il procedimento per trovare questa matrice non è banale: si devono manipolare le equazioni per ottenere un espressione utile allo scopo, inoltre, questa matrice non è unica, e risulta quindi necessario un processo di selezione. Lo scopo di questo studio è quello di sviluppare un metodo automatico per ottenere una parametrizzazione da un sistema di equazioni, senza bisogno di ulteriori manipolazioni del sistema. Per questo, la scelta è quella di approssimare queste equazioni: ottenere un espressione polinomiale permette una fattorizzazione facile, pur non garantendo l’unicità. Gran parte di questo lavoro è stato quindi dedicato alla valutazione dell’errore commesso a causa dell’approssimazione, e quindi di misurare la validità di questo metodo. La seconda parte del lavoro è stata incentrata sulla necessità di trovare metodi che permettessero di scegliere la parametrizzazione più adatta allo scopo, tra le diverse possibilità presenti. Il metodo SDRE ha trovato applicazione nel campo dell’ingegneria spaziale nell’ambito della navigazione, in particolare è stato implementato per le procedure di rendezvous; un metodo automatico è stato sviluppato e implementato nell’algoritmo SDRE e applicato poi a una missione di rendezvous, nell’ambito di un’altra tesi. In questo modo è possibile misurare le prestazioni in termini di controllo del modello ottenuto con il metodo automatico, e fare quindi il confronto con le prestazioni ottenute con la parametrizzazione. Le simulazioni hanno però mostrato che questa soluzione non era ideale per questo scopo, essendo l’effetto della dinamica trascurabile rispetto al controllo necessario per seguire la traiettoria prevista. Il codice è comunque disponibile, implementato e giustificato teoricamente; può quindi essere sfruttato per un altri tipi di problemi di controllo.