Interface control domain decomposition problems

The scope of this thesis is to analytically and numerically analyze the so-called interface control domain decomposition methods. These methods are the subject of current research within the academic world. They represent a viable alternative to more classical methods for the resolution of heterogeneous problems, without the necessity of setting neither the interface between the different sub-domains in which should be solved different problems (not always easily identifiable), nor the coupling conditions, but rather minimizing a suitable cost functional. The basic idea of these methods, actually, consists in splitting the original domain into two or more overlapping sub-domains, in introducing the interface variables λi on the different interfaces and in minimizing a cost functional depending on the introduced variables. In particular, the resolution of the problems in the different sub-domains depends on λi and we try to minimize the difference of meaningful quantities measured on adjacent domains in an appropriate norm. In this thesis we discuss the methods mentioned above in the case of two sub-domains. In particular, at first some methods for the resolution of elliptic problems are presented. These methods are analyzed in the case of both continuous and discontinuous coefficients, in order to test their suitability and efficiency. Then, we propose two methods for the solution of the heterogeneous Stokes-Darcy problem, we report the obtained numerical results and assess their properties of well-posedness and stability.

L’obiettivo di questa tesi è quello di analizzare dal punto di vista analitico e numerico i cosiddetti metodi di decomposizione dei domini con controllo all’interfaccia. Tali metodi sono oggetto di ricerche attuali all’interno del mondo accademico. Essi rappresentano una valida alternativa ai metodi più classici per la risoluzione di problemi eterogenei, senza la necessità di fissare né l’interfaccia tra i diversi sottodomini su cui devono essere risolti i diversi problemi (non sempre facilmente identificabile), né le condizioni di accoppiamento, ma minimizzando un opportuno funzionale costo. L’idea fondamentale di questi metodi, infatti, è quella di scomporre il dominio originario in due o più sottodomini con sovrapposizione, introdurre delle variabili di interfaccia λi sulle diverse interfacce e minimizzare un funzionale costo dipendente dalle variabili introdotte. In particolare, la risoluzione dei problemi nei sottodomini dipende dalle λi e si cerca di minimizzare la differenza di quantità significative misurate su domini adiacenti in un' opportuna norma. In questa tesi vengono trattati i metodi suddetti nel caso di due sottodomini. In particolare, dapprima sono presentati dei metodi per la risoluzione di problemi di tipo ellittico. Tali metodi vengono analizzati sia nel caso di coefficienti continui che discontinui, al fine di testare la bontà e la robustezza dei metodi proposti. In secondo luogo vengono esposti due metodi per la risoluzione del problema eterogeneo Stokes-Darcy, riportati i risultati numerici ottenuti e valutate le proprietà di buona positura e stabilità dei metodi.