Local stochastic volatility models. Solving the smile problem with a nonlinear partial integro-differential equation

The aim of this work is to present a new class of models from Mathematical Finance: Local-Stochastic Volatility Models for equity derivatives pricing. These models are a generalization of the two well known frameworks of Local Volatility and Stochastic Volatility. The key idea is to first calibrate independently the two basic models to market data and afterwards to combine them consistently. To accomplish this result a nonlinear partial integro-differential Fokker-Planck equation is numerically solved using the Finite Element Method.

Lo scopo di questo lavoro è introdurre una nuova classe di modelli della Finanza Matematica: i cosiddetti modelli "Local-Stochastic Volatility" per la valutazione di contratti derivati su azioni. Questo tipo di modelli è una generalizzazione dei ben noti modelli a Volatilità Locale e a Volatilità Stocastica. L'idea chiave è quella di calibrare dapprima questi due modelli base ai dati di mercato e poi combinarli consistentemente per ottenere il modello generalizzato. Per ottener questo risultato un equazione non lineare integro-differenziale di Fokker-Planck viene risolta numericamente con il metodo degli Elementi Finiti.