Modeling the filtered and sampled continuous time signal affected by Wiener phase noise

This work concerns the study of the modeling of the sampled signal after the receiver matched filter with transmission over a Wiener Phase noise channel.\\ In the literature regarding phase noise (for example in \cite{InformationRate,PhaseNoiseOscillators,PilotAidedCarrierRecovery,EmpiricalModeling}) is usually considered a symbol-time model for the sampled signal, whose discrete-time phase noise after the receive filtering is considered to be a Wiener process; this is done by assuming that one has slow phase variation in one time symbol.\\ The contribution of this thesis is the study of the difference between the symbol-time model used in the literature, which in this thesis work will be called \acl{SPNM} (\acs{SPNM}), and the model (called Complete Model) for the sampled signal after the receive filter obtained by considering the continuous-time signals and mathematically deriving the expression for the signal at the sampler. Limits of validity of the \acs{SPNM} will be proved; moreover the features of the phase noise of the Complete Model which differ from the features of the \acs{SPNM} will be pointed out.\\ This document is organized as follows: after an introductory chapter about the notations used, the symbol-time model (\acs{SPNM}) is presented together with an application found in the literature \cite{PilotAidedCarrierRecovery} where carrier recovery with Pilot Aided Transmission is performed for a channel that as a \acl{SPNM}. In Chapter 3 the continuous-time signal at the input of the receiver is considered; the continuous-time signal at the sampler, obtained after matched filtering of the received signal affected by Wiener Phase Noise, is then derived. A mismatch between the Complete Model obtained by sampling the continuous-time signal and the \acs{SPNM} is found.\\ In Chapter 4 the power of this mismatch is studied with simulations, with a particular emphasis on the phase noise of the Completed Model: indeed it is observed that the receive filtering introduces memory in the phase process.\\ The results of Chapter 4 arise the need to extend to the Complete Model the derivations done in \cite{InformationRate} for the \acs{SPNM}. Therefore in Chapter 5 some changes and integrations to \cite{InformationRate} are proposed in order to compute the capacity bounds with a symbol-spaced model that is different from the \acs{SPNM}; in particular it has a phase noise with innovation process with memory greater than one.

Questo lavoro si occupa dello studio della modellazione del segnale campionato dopo il filtro adattato al ricevitore, nel caso in cui la trasmissione avviene su un canale soggetto a rumore di fase di Wiener.\\ Quando si studia il rumore di fase in letteratura (per esempio in \cite{InformationRate,PhaseNoiseOscillators,PilotAidedCarrierRecovery,EmpiricalModeling}) si considera spesso un modello a tempo di simbolo per il segnale campionato, il cui rumore di fase tempo-discreto dopo il filtraggio \`e considerato essere un processo di Wiener, a patto di ammettere variazioni di fase lente durante un tempo di simbolo.\\ Il contributo di questo lavoro di tesi \`e di studiare la differenza tra il modello usato in letteratura a tempo di simbolo, che in questo documento chiameremo \acl{SPNM} (\acs{SPNM}), e il modello (chiamato completo) del segnale campionato dopo il filtro in ricezione ottenuto considerando tutti i segnali tempo-continui al ricevitore e derivando matematicamente l'espressione del segnale al campionatore. Verranno proposti anche dei limiti sotto i quali il modello SPNM \`e valido e evidenziate le caratteristiche del rumore di fase del modello completo che si discostano dal SPNM. \\ Questo documento si articola come segue: dopo aver introdotto le notazioni, il modello a tempo di simbolo (\acs{SPNM}) viene presentato nel capitolo 2 insieme a un esempio trovato in letteratura \cite{PilotAidedCarrierRecovery} in cui si effettua il recupero di portante con trasmissione di simboli pilota servendosi di questo modello. Nel capitolo 3 \`e considerato il segnale tempo-continuo all'ingresso del ricevitore; viene quindi illustrata la derivazione del segnale tempo-continuo al campionatore inserendo prima un rumore di fase di Wiener e poi filtrando il segnale per il filtro adattato. Si osserva quindi uno scostamento tra il modello completo ottenuto campionando questo segnale tempo-continuo e il \acs{SPNM}.\\ Nel capitolo 4, grazie a simulazioni, si studia la potenza di questo scostamento e in particolare le caratteristiche del rumore di fase del modello completo: si pu\`o notare che il il processo di fase presenta memoria introdotta dal filtro in ricezione. Le considerazioni che scaturiscono dall'osservazione dei risultati nel capitolo 4 fanno sorgere la necessit\`a di estendere al modello completo il lavoro svolto in \cite{InformationRate} per il SPNM). Quindi nel capitolo 5 viene ripreso \cite{InformationRate}, a cui vengono proposti i cambiamenti e le integrazioni necessarie per calcolare i limiti della capacit\`a con un modello a tempo di simbolo che, diversamente da quanto proposto nell'articolo, ha rumore di fase con memoria maggiore di uno.