Dynamical low rank approximation of time dependent PDEs with random parameters

In this thesis we focus on parabolic PDEs in which some of the pa- rameters or the initial data are not exactly quantified “a priori”. In this framework the problem is described in terms of random variables in the probability space; in particular, the solutions are assumed to be spatial and time dependent random fields. When the number of stochastic variables is large, an important issue consists in reducing the dimensionality of the problem for the approximation of the solution. This represents a challenging task when the probability structure of the solution evolves in time. In view of that we consider the Dynami- cally Orthogonal Field (DO) approach according to which the approximate solution is described in terms of deterministic basis functions and stochastic coefficients, both of them evolving in time. In particular they adapt to the solution in a way that reduces the dimension of the approximation. The key point consists in not building an approximation through fixed bases ei- ther in the deterministic or physical space but in looking directly for an approximate rank N solution that is achieved by a Galerkin projecting of the governing equation. The method results in a system of evolution equa- tions that defines the solution at any time instant in order to maintain the effectiveness of the approximation also for long time integration. One can find in literature equivalent formulation in a finite element setting for which convergence analysis and error estimates are provided. In particular, we show that the DO approach is strongly related to the Dynamically Double Orthogonal decomposition (DDO) since both methods provide the same nu- merical solution when the Galerkin approach is adopted. The rest of the thesis is divided in two parts. In the first one we focus on parabolic linear diffusion equations for which we give theoretical results on the convergence rate and numerical examples to test the accuracy of the method. In the second one we consider parabolic equations with non linear reaction term, particularly inspired by electrical models of biological tissues.

Questo lavoro si pone, nell'ambito dell’ “Uncertainty Quantification”, lo studio di EDP tempo dipendenti caratterizzate da parametri o condizioni iniziali stocastiche, con il particolare fine di sviluppare soluzioni approssimanti con dimensionalità ridotta. L’approccio adottato, che prende il nome di “Dynamically Orthogonal Field” (DO), consiste nell'assumere la soluzione approssimante espansa in termini di serie, con basi deterministiche e coefficienti stocastici, entrambi tempo dipendenti in modo tale da evolvere in accordo con la soluzione. L’obiettivo `e quello di riuscire ad utilizzare una espansione con pochi termini che descrivano globalmente la struttura della soluzione ad ogni istante temporale. Questo concetto si tra- duce nel nostro caso in un sistema accoppiato di equazioni di evoluzione, stocastiche quelle per i coefficienti e deterministiche per le basi e la media della funzione approssimante. Tale sistema può essere ricavato direttamente dalla EDP stocastica che governa il problema, tramite un opportuno approccio alla Galerkin. Mostreremo inoltre che tale approccio corrisponde dal punto di vista numerico con la ‘Dynamically Double Orthogonal” (DDO), in quanto entrambi forniscono la stessa soluzione se si adotta una formulazione alla Galerkin. Tale fatto risulta rilevante in quanto sono presenti in letterature stime di quasi ottimalità` per l’approssimazione DDO in dimensione finita, ovvero errore limitato da quello di migliore approssimazione sotto opportune ipotesi e con le opportune norme. Alla luce di questo abbiamo indagato la relazione tra soluzione approssimate (DO) a rango N e la migliore approssimazione a rango N tramite test numerici e considerazioni teoriche per il caso semplice di EDP paraboliche con diffusione lineare. Tale modello di equazioni sara` inoltre utilizzato per testare il reale funzionamento del metodo e l’influenza dai vari parametri di discretizzazione. Concludiamo il lavoro applicando l’approccio DO a PDE tempo dipendenti con termine di reazione non lineare, specificatamente ispirate ai modelli di attività bioelettrica per le cellule cardiache, distinguendo nei test numerici il caso di condizione iniziale o parametri stocastici.