Analysis and approximation of moment equations for PDEs with stochastic data

This thesis concerns the study of partial differential equations (PDE) with uncertain input data described as random variables or random fields with known probability laws. Such mathematical models are known as \emph{stochastic PDEs} (SPDEs). The solution $u$ of an SPDE is itself stochastic. Given complete statistical information on the input data, the aim of the present thesis is to infer on the statistical moments of $u$. The approach proposed consists in deriving the so called \emph{moment equations}, that is the deterministic equations solved by the statistical moments of the stochastic solution $u$. We consider PDEs with randomness arising either in the loading term or in the coefficient. Concerning the first class, the stochastic counterpart of the Hodge Laplace problem in mixed formulation is considered, which finds applications in electrostatic/magnetostatic problems with uncertain current/charge, as well as in the fluid flow in porous media with uncertain sources or sinks. The moment equations are exactly derived, and their well-posedness is proved. The stability of both full and sparse tensor product finite element discretizations is obtained. We then consider the boundary value problem modeling the single phase flow (Darcy law) in a heterogeneous porous medium, where the permeability is described as a lognormal random field, i.e. $a(\omega,x)=\e^{Y(\omega,x)}$, $Y(\omega,x)$ being a Gaussian random field. Under the assumption of small variability of $Y$, we perform a \emph{perturbation analysis}, which consists in expanding the solution of the SPDE in Taylor series. We analyze the approximation properties of the $K$-th order Taylor polynomial $T^Ku$, predict the divergence of the Taylor series, and provide an estimate of the optimal order $K_{opt}$ such that adding new terms to the Taylor polynomial will deteriorate the accuracy instead of improving it. We approximate the statistical moments of the stochastic solution with the statistical moments of its Taylor polynomial. We derive the \emph{recursive} problem solved by the expected value of $T^Ku$ and show its well-posedness. An algorithm to solve the first moment problem at a prescribed order $K$ is proposed. All the computations are performed in low-rank format, the tensor train (TT) format. On a model problem with only few random input parameters we show that the solution obtained with our TT-algorithm compares well with the one obtained by a Stochastic Collocation method. However, our algorithm is capable of dealing also with a very large number of random variables and even infinite-dimensional random fields, and providing a valid solution, whereas the Stochastic Collocation method is unfeasible. The dependence of the complexity of the algorithm on the prescribed tolerance $tol$ in the TT-computations is studied via numerical tests. We numerically predict the existence of an optimal $tol$ depending both on the order of approximation $K$ and the standard deviation of the field $Y$. If the optimal tolerance is chosen, the performance of the moment equations is far superior to a standard Monte Carlo method.

Questa tesi riguarda lo studio di equazioni alle derivate parziali (PDE) con dati di ingresso incerti descritti come variabili aleatorie o campi aleatori con leggi di probabilità conosciute. Questi modelli matematici sono noti come PDE stocastiche (SPEDs). La soluzione $u$ di una SPDE è essa stessa stocastica. Data completa informazione statistica sui dati di ingresso, lo scopo della presente tesi è di dedurre informazione sui momenti statistici di $u$. L'approccio proposto consiste nel derivare le cosiddette \emph{equazioni dei momenti}, cioè le equazioni deterministiche risolte dai momenti statistici della soluzione stocastica $u$. Prendiamo in esame PDE con incertezza riguardante o il termine forzante o il coefficiente. Per quanto riguardo la prima classe, consideriamo il corrispettivo stocastico del problema dell'Hodge Laplace in formulazione mista, che trova applicazione nei problemi di elettrostatica/magnetostatica con correnti/cariche incerte, come anche nel flusso di fluidi in mezzi porosi con sorgenti o pozzi incerti. Deriviamo esattamente le equazioni dei momenti e dimostriamo la loro buona positura. Otteniamo la stabilità di discretizzazioni a elementi finiti costruite come prodotto tensore sia pieno che sparso. In un secondo momento consideriamo il problema che modellizza il flusso di fluidi monofase (legge di Darcy) in un mezzo poroso eterogeneo, dove la permeabilità è descritta come un campo aleatorio lognormale, cioè $a(\omega,x)=\e^{Y(\omega,x)}$, $Y(\omega,x)$ essendo un campo aleatorio Gaussiano. Sotto l'ipotesi di piccola variabilità di $Y$, realizziamo un'\emph{analisi perturbativa} che consiste nell'espandere la soluzione della SPDE in serie di Taylor. Analizziamo le proprietà di approssimazione del $K$-esimo polinomio di Taylor $T^Ku$, prediciamo la divergenza della serie di Taylor e forniamo una stima del grado ottimale $K_{opt}$ tale per cui, aggiungendo nuovi termini al polinomio di Taylor, l'accuratezza si deteriora invece che aumentare. Approssimiamo i momenti statistici della soluzione stocastica con i momenti statistici del suo polinomio di Taylor. Deriviamo il problema \emph{ricorsivo} risolto dal valore atteso di $T^Ku$ e mostriamo la sua buona positura. Proponiamo inoltre un algoritmo per risolvere il problema del primo momento statistico a un ordine prescritto $K$. Tutti i calcoli sono realizzati in un formato low-rank, il formato tensor train (TT). Su un problema modello con solo pochi parametri di input incerti mostriamo che la soluzione ottenuta con l'algoritmo TT da noi proposto ha risultati paragonabili a quelli ottenuti con il metodo di Collocazione Stocastica. Inoltre il nostro algoritmo è in grado di trattare anche problemi con un grande numero di variabili aleatorie, perfino con campi aleatori infinito dimensionali, e di produrre una soluzione valida laddove il metodo di Collocazione è impraticabile. Attraverso test numerici studiamo la dipendenza della complessità dell'algoritmo dalla tolleranza $tol$ imposta nei calcoli in formato TT. Prediciamo numericamente l'esistenza di una tolleranza ottimale $tol$ dipendente sia dall'ordine di approssimazione $K$ che dalla deviazione standard del campo $Y$. Se viene scelta la tolleranza ottimale, le performace del metodo delle equazioni dei momenti sono di gran lunga superiori a quelle del metodo Monte Carlo standard.