Multiple gradient descent algorithm for isogeometric shape optimization

This thesis has been developed during a six-month internship within the OPALE research team at INRIA Mediterranee (Institut Nationale de Recherche en Informatique et Automatique - Sophia Antipolis, France) under the supervision of Jean-Antoine Desideri and Regis Duvigneau. This work focuses on the research field of optimization. Moreover it deals with topics related to numerical methods for the approximation of PDEs and applications to computational mechanics. This work faces some theoretical issues in the cooperative phase of multiobjective optimization and applies the resulting methodology to a shape optimization problem in linear elasticity. In the first part of this thesis, a general paradigm for the treatment of multiobjective optimization is presented, introducing the concepts of Pareto-optimal solutions and Pareto fronts. Then we describe a methodology that extends classical Steepest-Descent Method to the case of concurrent optimization of several criteria by means of the so-called Multiple- Gradient Descent Algorithm. Moreover we present an application to a linear elasticity problem, formulated using IsoGeometric Analysis. In particular, we propose to analyze a classical problem of shape optimization in structural engineering within a multiobjective optimization framework. Thus the following variants of Multiple-Gradient Descent Algorithm are tested: MGDA using gradients approximated by Finite Difference Method; MGDA assisted by statistical-based metamodels in order to predict the values of the objective functionals; MGDA enhanced by the information contained in the gradients analytically extracted from the NURBS -based formulation of the problem. Some numerical simulations for a test case are presented and the results are cross-validated using all the variants of this multiobjective optimization algorithm, a strategy based on shape derivatives and a genetic algorithm widely used in the literature. Eventually, an introduction to multiobjective competitive optimization is given and the general framework to formulate a proper Nash game is established.

Questo lavoro di tesi e' stato sviluppato durante un periodo di stage di sei mesi svolto all’interno del gruppo di ricerca OPALE presso INRIA Mediterranee (Institut Nationale de Recherche en Informatique et Automatique - Sophia Antipolis, Francia). Sviluppato sotto la supervisione del Prof. Jean-Antoine Desideri e del Dr. Regis Duvigneau, questo lavoro si inquadra nell’area di ricerca dell’ottimizzazione e tratta temi legati ai metodi numerici per le equazioni a derivate parziali con applicazioni alla meccanica computazionale. Il fulcro di questa tesi e' costituito dalla trattazione teorica e algoritmica della fase cooperativa delle procedure di ottimizzazione multiobiettivo. La metodologia risultante e' poi applicata a un problema di ottimizzazione di forma formulato mediante l’analisi isogeometrica in un contesto di elasiticita' lineare. Nella prima parte di questo lavoro, si introduce un paradigma generale per la trattazione dei problemi di ottimizzazione multiobiettivo, presentando i concetti di soluzioni Pareto-ottimali e di fronti di Pareto. Successivamente si generalizza il classico algoritmo di massima discesa per l’ottimizzazione di un singolo criterio al caso dell’ottimizzazione contemporanea di molteplici funzionali tramite la strategia denominata Multiple-Gradient Descent Algorithm. Si presenta inoltre l’applicazione a un problema di elasiticta' lineare formulato usando elementi finiti isogeometrici. In particolare, proponiamo di analizzare un classico problema di ottimizzazione di forma in ingegneria strutturale ambientandolo in un contesto di ottimizzazione multiobiettivo. Si testano pertanto le seguenti varianti dell’algoritmo di ottimizzazione precedentemente descritto: MGDA accoppiato a una procedura per il calcolo approssimato dei gradienti mediante differenze finite; MGDA assistito da metamodelli statistici per la predizione dei funzionali costo; MGDA potenziato dall’utilizzo delle informazioni sui gradienti estratte in maniera analitica dalla formulazione del problema basata sulle NURBS. Si forniscono i risultati di alcune simulazioni numeriche per un caso test e si esegue una validazione degli stessi usando le varie versioni presentate per l’algoritmo di ottimizzazione multiobiettivo, una strategia basata sulle derivate di forma e un algoritmo genetico largamente impiegato in letteratura per la trattazione di questa categoria di problemi. Infine, si presenta un’introduzione ai problemi di ottimizzazione multiobiettivo competitiva e si fornisce l’ambientazione generale per la corretta formulazione del corrispondente gioco di Nash.