Risk measures in market models with transaction costs

The aim of this thesis is the analysis of coherent risk measure theory in models with transaction costs. This work was developed according to the theory of no-arbitrage in markets with transaction costs, presented by Schachermeyer, and the theory of set-valued risk measures, presented by Hamel, Heyde and Rudloff. We first provide a proof of the Fundamental Theorem of Asset Pricing in the traditional model (referring to the work of Kabanov); then we extend this result to the model including transaction costs. In our setting the space of all possible future scenarios is finite and there are only two trading dates: initial and terminal time. Moreover, we provide equivalent formulations of financial variables such as portfolios, solvency cones, eligible assets. We present the main results on coherent risk measure theory, following the work of Artzner et al and Farkas et al. The focus of our model is on acceptance sets. Financial regulators define which positions will be considered acceptable at terminal time and investors build their capital requirements with respect to these acceptance sets (such capital requirements will turn out to be risk measures). We present both the scalar version (capital requirements with respect to a single eligible asset) and the vector version (multi-eligible assets risk measures). Then we focus on set-valued risk measures: we introduce the concepts of market-compatibility, scalarization and dual representation. We also provide a comparison among these three main approaches. In the final part, we consider the acceptance set based on value at risk (VaR) and we define the capital requirement associated to it. We build a specific model in order to compare it with traditional VaR, computing the values on the same financial positions. In this model we choose a market with six exchange rates, analyze the time series, calibrate the coefficients and compute forecasts. The results obtained are consistent with the non-coherence of VaR. In conclusion we discuss the implications these results have on the definitions of minimum capital requirement by financial regulation bodies.

L'obiettivo di questa tesi è l'analisi delle misure di rischio coerenti nell'ambito dei modelli con costi di transazione. Questo lavoro si basa sulla teoria del non arbitraggio, sviluppata da Schachermeyer, e sulla teoria delle misure di rischio set-valued, sviluppata da Hamel, Heyde e Rudloff. Nella prima parte si è trattato il Teorema fondamentale dell'asset-pricing, la cui dimostrazione si riferisce al lavoro di Kabanov; in seguito questo risultato è stato esteso ai modelli che incorporano i costi di transazione. In seguito, abbiamo presentato i principali risultati della teoria delle misure di rischio coerenti, seguendo i lavori di Artzner et al. e di Farkas et al. Il nostro punto di partenza è stato il concetto di insieme di accettazione. I regolatori finanziari definiscono a priori quali posizioni finanziarie sono accettabili nella data di riferimento, e spetta ai singoli investitori costruire i propri requisiti di capitale relativi al dato insieme di accettazione. Questi requisiti di capitale risulteranno poi essere delle misure di rischio e la loro coerenza dipenderà dalle proprietà dell'insieme di accettazione di partenza. Abbiamo inoltre riportato le formulazioni dei requisiti di capitale sia scalare che vettoriale. Successivamente, abbiamo analizzato le misure di rischio set-valued: sono stati introdotti i concetti di market-compatibility, scalarizzazione e rappresentazione duale. Abbiamo inoltre presentato un confronto fra i tre approcci. Nell'ultima parte abbiamo considerato l'insieme di accettazione basato sul value at risk (VaR) e definito il requisito di capitale ad esso associato. Abbiamo costruito un modello specifico per confrontarlo con il tradizionale VaR, calcolato sulle stesse posizioni finanziarie. In questo modello abbiamo scelto sei tassi di cambio, analizzato le serie storiche, calibrato i coefficienti e calcolato le previsioni. I risultati ottenuti sono consistenti con la proprietà di non coerenza del VaR. Per concludere abbiamo analizzato le implicazioni di questi risultati sulle scelte dei regolatori finanziari nella definizione dei requisiti minimi di capitale.