Brain tumors : mathematical modeling and numerical simulations for cancer growth and invasion

In the last decades the use of mathematical models to describe the evolution of a cancer has been greatly developed. In this work the attention is focused on diffusion–reaction models, especially in generation and development of childhood brain cancers. These models has been modified and improved during the years, thanking the work of Murray, Swanson et al., that have widely and intensively studied the biological phenomenon in order to obtain a satisfactory mathematical description. The aim is to evaluate the precision of this kind of models through simulations of a finite elements code on a mesh derived from MRIs of a test patient. The whole analysis consists in studying and comparing, both under an analytical and a numerical point of view, the results obtained through a usual linear diffusion model, similar to the heat equation, and a non linear diffusion model implemented in this paper, based on the porous medium equation.

Negli ultimi decenni l’utilizzo di modelli matematici per descrivere l’evoluzione dei tumori si `e incredibilmente sviluppato. In questo lavoro l’attenzione `e concentrata in particolar modo sui modelli diffusione–reazione, specialmente nel modellizzare la generazione e lo sviluppo dei tumori cerebrali infantili. Questi modelli sono stati modificati e sviluppati nel corso degli anni, grazie al lavoro di Murray, Swanson et al., che hanno largamente studiato il fenomeno biologico al fine di ottenere una descrizione matematica soddisfacente. Lo scopo di questo lavoro `e di valutare la precisione di questo tipo di modelli mediante simulazioni numeriche di un codice elementi finiti, su una griglia derivata da una serie di risonanze magnetiche effettuate su di un paziente test. L’analisi consiste nello studiare e comparare, dal punto di vista analitico e sperimentale, i risultati ottenuti tramite un modello a diffusione lineare (tipico in letteratura), similare ad un equazione del calore, ed un modello a diffusione non lineare proposto nel presente elaborato, basato sull’equazione dei mezzi porosi.