Optimal control of time varying harmonic oscillator at resonance

Time-optimality is the main subject of this thesis. The goal is to bring a time-varying harmonic oscillator to a specific energy level in the shortest time possible. To achieve time-optimality Pontryagin Minimum Principle (PMP) is applied. PMP gives necessary conditions for obtaining time-optimal control solutions. Since the problem under study is linear in its variables and the control set is bounded, the derived optimal control is a bang-bang control. It consists in switching the excitation between the two boundary values. Note that the content of the excitation is constant, time-optimality for a bang-bang control can only depend on the times when the switches take place. Introducing a state space description for the harmonic oscillator (position-velocity axes), switching times correspond to points in the state space where switches happen. All the switching points are part of a switching curve. The switching curve can be used to know when the control of the harmonic oscillator has to switch value. This is nothing but the optimal control law. In the paper, time-optimal solutions are analysed for the undamped and damped harmonic oscillator. In the undamped case the switching curve is obtained and hence the optimal control law. The control law can be directly implemented. About the damped harmonic oscillator, the problem is completely structured. The shape of the switching curve is shown; its equation needs more investigations. Additionally, the effect of damping on the switching curve and the limit cycles due to a weak excitation compared to the dissipative component are commented. One contribution of this work consists of a detailed description of Pontryagin Minimum Principle both from a theoretical and a practical perspective. In order to test the derived time-optimal control, a simplified model of a Coriolis mass flow meter is taken into account. For instance, the model consists of a time-varying harmonic oscillator which needs to work at resonance. Simulations show the time-optimality of the control. Comparison with a speed-gradient control is faced. The speed gradient control switches according to the sign of the velocity of the system. The speed gradient has been studied by previous works and it turned out to be energy-optimal. For the particular system under analysis, the difference in time between the speed-gradient control and the control derived using PMP is small and negligible. This result claims that the speed gradient control can be considered both energy and time optimal for certain systems. At last, the Coriolis mass flow meter is controlled using the speed-gradient. Unknown states are obtained using a sliding mode observer. Time-varying parameters are estimated by means of a recursive least square method. The frequency of the system is estimated and the density of the fluid flowing through the device is provided.

La tesi è incentrata sul controllo ottimo a minimo tempo. L'obiettivo è portare un oscillatore armonico tempo variante ad uno speci fico livello energetico nel pi ù breve tempo possibile. Si è scelto di risolvere il problema tramite il Principio di Minimo formulato da Pontryagin (PMP). PMP fornisce condizioni necessarie per ricavare controlli che minimizzano il tempo richiesto da un sistema dinamico per raggiungere un determinato stato. Dato che il problema analizzato è lineare nelle sue variabili e il controllo è limitato, la legge di controllo ottenuta è di tipo Bang-Bang. Esso consiste nel cambiare l'eccitazione alternativamente tra i due valori limiti. Sapendo che l'intensità dell'eccitazione è costante, l'ottimalit à è decisa dai tempi ai quali il controllo alterna il suo valore (switching times). Introducendo uno spazio di stato per l'oscillatore armonico, gli switching times corrispondono a punti di questo spazio dove gli switch avvengono. Tutti questi punti fanno parte di una curva denominata switching curve. La switching curve viene usata per determinare il controllo dell'oscillatore ad ogni combinazione degli stati del sistema (posizione e velocit à). Questo non è altro che la legge di controllo del sistema per ottenere ottimalit à del tempo. Soluzioni di ottimalit à di tempo sono analizzate nella tesi per un oscillatore ideale (UHO, undamped harmonic oscillator) e per uno smorzato (DHO, damped harmonic oscillator). Nel primo caso la switching curve è ricavata e di conseguenza il controllo ottimo pu ò essere direttamente implementato. Riguardo all'oscillatore smorzato, la soluzione del problema è completamente strutturata. La switching curve è rappresentata ma l'equazione necessita ulteriori analisi. In aggiunta, sono presenti commenti riguardanti l'eff etto dell'attrito sulla switching curve e i cicli limite dovuti ad un'eccitazione del sistema non su fficiente rispetto alla componente dissipativa. Un contributo di questo lavoro è la descrizione dettagliata del principio di Pontryagin sia da un punto di vista teorico che pratico. Con l'obiettivo di veri ficare le qualit à del controllo ottenuto, si prende in considerazione un modello sempli ficato del Coriolis mass flow meter. Il modello consiste in un oscillatore armonico tempo variante la cui condizione di funzionamento è la risonanza. Simulazioni mostrano la ottimalit à del controllo derivato. Seguono confronti con lo speed-gradient control. Questo controllo alterna valore in base al segno della velocit à del sistema. Precedenti studi sullo speed-gradient hanno mostrato che questo controllo è energeticamente ottimo. Inoltre, per il sistema analizzato, la di fferenza di tempo tra speed-gradient control e il controllo ottenuto utilizzando PMP è piccola e trascurabile. Di conseguenza, lo speed-gradient control pu o essere considerato anche energeticamente ottimo per sistemi con speci fici valori dei parametri. In fine, il Coriolis mass flow meter è controllato usando lo speed-gradient. Gli stati non misurabili sono valutati usando un osservatore sliding mode. I parametri tempo varianti sono stimati tramite il metodo recursivo dei minimi quadrati. La frequenza del sistema è ottenuta e la densit à del fluido che scorre nel dispositivo è fornita.