Recursive utility optimization in financial markets driven by Itô-Lévy processes

The aim of this thesis is to find an optimal consumption plan for a market model described by Itô-Lévy process, in which a generic actor’s preferences are represented through a recursive utility function. To do that, the maximum stochastic principle, as presented by Øksendal and Sulem for a SDE with jumps, is used. So as to use the maximum principle, the recursive utility function formulation, introduced by Duffie and Epstein, has to be presented as a forward-backward SDE system with jumps. Here there will be described a sufficient and necessary principle for the existence of an optimal control. The dissertation continues with the discussion of the possibility to allow for delay in the model: delay is first added in the state of the system (following Øksendal and Sulem); subsequently, in the control, extending Chen and Wu work to Itô-Lévy processes. The produced theory is then applied to the case of optimal resource extraction. The model studied is as follows: a company has to determine the optimal extraction "intensity" from a petroleum deposit, selling all the extracted oil on the commodities future market. A potential development of this work might be to allow storage for the company, and to add delay in the extraction intensity switching. The thesis is unfolded in five chapters: in the first chapter I will describe both approaches to the study of optimal portfolio strategy; the stochastic differential utility formulation and the forward-backward system of SDEs with jumps will then be combined in the formulation of a recursive utility function, presented as a solution of a forward-backward system. In the second chapter, I will present the sufficient and necessary stochastic maximum principle, that proves the existence of optimal control for the considered model. In the third chapter, the model is extended to incorporate the possibility of time delay, first in the state process, and then in the control. Chapter four is devoted to proving the existence and uniqueness of solutions for the considered systems. Finally, in the last chapter I will provide the example of an application of optimal control to define the optimal oil extraction policy for a company.

L’obiettivo di questa tesi è fornire dei principi di ottimizzazione per illustrare un piano di consumo ottimale per un modello di mercato descritto da processi di Itô-Lévy, dove le preferenze di un generico attore sono rappresentate tramite una funzione utilità ricorsiva. Per fare questo viene usato il principio del massimo stocastico, presentato da Øksendal e Sulem. Per poter sfruttare il principio, la formulazione della funzione utilià ricorsiva, introdotta da Duffie ed Epstein, viene presentata come un sistema forward-backward di EDS con salti. Vengono qui illustrati un principio sufficiente e necessario per l’esistenza del controllo ottimo. Il lavoro prosegue aggiungendo la possibilità di avere del ritardo nel modello: il ritardo viene prima aggiunto nello stato del sistema (seguendo Øksendal e Sulem), poi nel controllo, estendendo il lavoro di Chen e Wu ai processi di Itô-Levy. I risultati teorici presentati vengono poi applicati al caso di estrazione ottima di una risorsa. Il modello studiato vede una società che deve decidere il tasso ottimale di estrazione di petrolio da un giacimento, vendendo tutto ciò che estrae sul mercato dei future. Una possibile estensione del lavoro potrebbe essere quella di ammettere la possibilità di creare scorte, aggiungendo ritardo nel cambio di regime di estrazione. Il lavoro è così organizzato: nel primo capitolo vengono illustrati la funzione utilità ricorsiva stocastica e un sistema forward-backward di EDS con salti; gli approcci vengono poi uniti nella formulazione di una funzione utilità ricorsiva, presentata come soluzione di un sistema forward-backward. Nel secondo capitolo vengono enunciati e dimostrati principi sufficienti e necessari per il massimo stocastico, che dimostrano l’esistenza di un controllo ottimo per il modello considerato. Nel terzo capitolo, il modello viene esteso in modo da incorporare la possibilità di ritardo, prima nello stato del processo, e poi nel controllo. Il quarto capitolo è dedicato alla dimostrazione di esistenza e unicità per i sistemi considerati. Nell’ultimo capitolo viene presentato un esempio di applicazione per determinare il tasso di estrazione ottimale per una società.