FEM for PDEs with unfitted interfaces: application to flow through heterogeneous media and microcirculation

In this thesis we will focus on the modeling of fluid flows and mass transport in different kinds of heterogeneous media, where there exists thin structures embedded in the considered domain. In particular, we will investigate multidomain problems with homogeneous and heterogeneous dimensionality. On one hand we will study a problem characterized by two regions of the same dimensionality separated by an interface. On the other hand, we will focus on a problem where a one dimensional structure is completely embedded into a three dimensional one. In both situations, the different parts of the system feature different physical properties, therefore the solutions of problems obtained through mathematical modeling, involve discontinuities, singularities or high gradients. The first problem has many geophysical applications, such as groundwater flows or two-phase flows. The second one describes the exchange of fluid and mass between microvessels and interstitial tissue. The aim of this work is to study and develop numerical methods characterized by the use of computational meshes that do not fit the geometry of the embedded structures. In particular, in the first part of the work, we analyze the eXtended finite element method (XFEM) to solve elliptic and saddle point contrast problems. Then, in the second part, we study tissue perfusion and biochemical transport in vascularized tumor tissue. The latter problem is addressed using a new approach, called the Embedded Multiscale method. Both numerical methods allow to discretize the external domain independently of the internal structure.

La tesi si focalizza sullo studio di modelli computazionali per il trasporto di massa e di fluido in mezzi eterogenei, caratterizzati dalla presenza di strutture interne, quali interfacce, fratture o vasi. In particolare, studieremo problemi multidominio con dimensioni omogenee o eterogenee. Da un lato ci occuperemo di problemi caratterizzati da due diversi mezzi aventi la stessa dimensione, separati tra loro da un'interfaccia. Dall'altro lato studieremo problemi dove una struttura unidimensionale si trova completamente immersa in un dominio tridimensionale. In entrambi i casi, le diverse parti che compongono il sistema sono caratterizzate da diverse proprietà fisiche per cui la soluzione di questi fenomeni, ottenuta tramite modelli matematici, coinvolge discontinuità, singolarità e gradienti elevati. La prima tipologia di problemi ha molte applicazioni nel campo della geofisica, ad esempio per lo studio di flussi sotterranei o flussi bifase. La seconda può descrivere lo scambio di flusso e di massa tra i micro vasi del sistema circolatorio e il tessuto interstiziale. L'obiettivo principale della tesi è lo studio e lo sviluppo di metodi numerici caratterizzati dall'utilizzo di griglie computazionali che non si adattano alla geometria della struttura immersa. In particolare analizzeremo il metodo degli elementi finiti estesi (XFEM) per risolvere problemi ellittici e problemi di punto sella caratterizzati da parametri discontinui. Quindi studieremo la perfusione del tessuto e il trasporto di sostanze biochimiche in tessuti tumorali vascolarizzati, applicando l'Immersed Boundary method. Entrambi i metodi numerici permettono di discretizzare il dominio esterno indipendentemente dalla configurazione della struttura interna.