Un problema di controllo ottimo stocastico per la valutazione di opzioni europee con costi di transazione e volatilità path dependent

In this work we deal with the problem of pricing european options in a model with transaction costs and path-dependent volatility. First we analyze the path-dependent volatility model introduced by Hobson and Rogers, in which the volatility depends from the past movements of the price process, showing the pricing methodologies when there is absence of arbitrage opportunities using PDE techniques and equivalent martingale measure. We consider the robustness of the model in the case of approximated trend process when we have finite time series and numerical methods used to solve PDEs that require particular attention. After introducing the Hobson and Rogers model we illustrate the techniques of the stochastic optimal control that we will use in the sequel, applied to the optimal investment problem with finite horizon introduced by Merton, in particular we illustrate the dynamic programming principle, Hamilton-Jacobi-Bellman equation and verification theorem in order to solve analitically the problem and obtain the optimal control. In the same chapter we define viscosity solution for a partial differential equation, a useful concept needed when we have an irregular value function. After that, we consider the model developed by Davis and Norman for optimal investment in a market with proportional transaction costs. From this model we develop a framework to price european options using the indifference price: a concept of price of a derivative based on the investment opportunities of the agent. Finally, the last chapter is devoted to the original contribution of the author, which is a model to value european options with transaction costs and path-dependent volatility, extending the model of Davis, Panas and Zariphopoulou to the Hobson and Rogers process, which is completely observable. We formulate this problem as a double stochastic optimal control problem associated with the utility maximization in the two cases: the first in which the investor invests only in the two assets (V1), obtaining a simple portfolio optimization problem, the second in which he invests in the two assets but he has also a short position in the option (Vw). We derive a variational inequality of Hamilton-Jacobi-Bellman type, approximating the control processes using absolutely continuous processes. Next we prove the continuity of the value function V1 on the boundary of the domain and that the two value functions are the unique viscosity solutions of this variational inequality with the right final conditions, with the only hypothesis of the continuity of Vw on the boundary of the domain. To conclude the chapter we investigate the relation between this problem and quasi-variational inequalities arising from impulse control problems.

In questo lavoro affronteremo il problema della valutazione di opzioni europee in un modello con costi di transazione e volatilità path-dependent. Per prima cosa analizzeremo il modello a volatilità path-dependent introdotto da Hobson e Rogers, in cui la volatilità dipende dai movimenti passati del prezzo, illustrando le tecniche di valutazione in assenza di opportunità di arbitraggio legate ai metodi basati su PDE e su misura di martingala equivalente. Andremo poi a considerare la robustezza dell’approssimazione del processo di trend dovuta alla finitezza delle serie storiche e i metodi numerici per PDE che richiedono particolare accuratezza. Dopo aver introdotto il modello di Hobson e Rogers mostreremo le tecniche di controllo ottimo stocastico che ci serviranno in seguito, applicate al modello di investimento ottimale su orizzonte finito di Merton, in particolare illustreremo il principio della programmazione dinamica, l’equazione di Hamilto-Jacobi-Bellman e i teoremi di verifica risolvendo analiticamente il problema e ricavando il controllo ottimo. Nello stesso capitolo andremo a definire il concetto di soluzione debole viscosa per una equazione alle derivate parziali, nozione fondamentale nei problemi di controllo ottimo stocastico in cui la funzione valore risulta poco regolare. Parallelamente al modello di Merton verrà presentato il modello di Davis e Norman per l’investimento ottimale nel quale vengo presi in considerazione costi di transazione proporzionali. A partire da tale modello costruiremo un framework per la valutazione delle opzioni europee con costi di transazione utilizzando il prezzo di indifferenza: una definizione di prezzo di un derivato legata alle opportunità di investimento dell’agente. Infine l’ultimo capitolo del lavoro sarà dedicato al contributo originale dell’autore, che consiste nello sviluppo di un modello di valutazione di opzioni europee con costi di transazione e volatilità path dependent, estendendo di fatto il modello di Davis, Panas e Zariphopoulou al processo di Hobson e Rogers, che risulta completamente osservabile. Formuleremo quindi un doppio problema di controllo ottimo stocastico associato alla massimizzazione dell’utilità attesa dell’agente in due casi: il primo in cui l’agente investe solo nei due titoli (V1) ottenendo un problema di ottimizzazione dei portafogli semplice, il secondo in cui l’agente investe nei due titoli presenti sul mercato e possiede una posizione short nell’opzione (Vw). Deriveremo una disuguaglianza variazionale di tipo Hamilton-Jacobi-Bellman associata a queste due funzioni valore utilizzando una tecnica di approssimazione per processi di controllo assolutamente continui. Successivamente dimostreremo la continuità della funzione valore V1 sul bordo del dominio e proveremo che le due funzioni valore sono le uniche soluzioni viscose della disuguaglianza variazionale con le opportune condizioni finali, ipotizzando unicamente la continuità della funzione Vw sul bordo del dominio. Per concludere analizzeremo il legame tra il nostro problema e le disuguaglianze quasi-variazionali derivanti dai problemi di controllo impulsivo.