Valutazione di opzioni americane tramite trasformate nell'ambito di un modello a volatilità stocastica con salti

In recent years, financial options or more generally derivatives, have become very significant instruments in capital markets. Their high importance is due to the widespread use of this contracts not only for speculative purposes, but also as capital enhancement and risk management tools. Black&Scholes (1973) provide the fundamental basis for pricing european-style options. Through their close formula one can deduce a theoretical good estimate for the price of this type of contracts. Over the years, the formulation exhibited by Black&Scholes has been revised and generalised for more complex derivatives like american ones. Unlike european options, american options can be exercised at any time during the term of derivative contract. For this reason their evaluation consists in searching solutions for the free boundary value problem arising from the opportunity of early exercise. In this thesis are described the main frameworks aimed at the pricing of american options using methods based on transforms; an original contribution is finally presented. McKean (1965), who seems to be the first to consider this option pricing problem, solves the Black&Scholes partial differential equation for the american contract in a restricted (by the early exercise boundary) domain using an incomplete Fourier transform obtaining an integral expression for the Call price and the free boundary. Jamshidian (1992) develops an alternative approach replacing the homogeneous equation with an equivalent inhomogeneous on an unrestricted domain. In this way, one can derive, by using the standard Fourier transform or through an application of Duhamel's principle, a simpler and more economically intuitive form for the general american option price (european value and premium paid for early exercise). In the last decade, Chiarella, has extended McKean-Jamshidian's method to the case where the underlying asset follows a jump-diffusion process (Merton) and, in particular, the case where the volatility of the underlying evolves randomly as well (Bates). Under these models, introduced to improve the Black&Scholes model performances, Chiarella applies the method of transforms to solve the integro-partial differential equation for the option price. The aim of this thesis is to solve the problem of pricing american options under stochastic volatility and jump-diffusion dynamics given by a Time changed Lévy process model, using the method of transforms. Following the framework of Chiarella for the Bates model, a Jamshidian's representation for the american Call price is introduced manipulating integro-partial pricing equation. In order to derive the explicit formulation of the components in this representation, expressed in terms of expectation over the join distribution of the underlying process, is necessary to obtain the transition probability density function for the stock price and variance under the risk neutral dynamics. This is done by solving the Kolmogorov backward IPDE using a combination of the Fourier transform (in the log-price dimension) and the Laplace transform (in the variance dimension). Furthermore, evaluating the expression of the american Call price at the early exercise boundary, produces an integral equation for the free boundary. In this way a linked system of integral equation for the price and early exercise boundary of an american Call is derived. Finally, a numerical algorithm is presented in order to cope with the difficulties involved in solving this system of integral equations.

Negli ultimi anni, le opzioni o più generalmente i derivati, sono diventati strumenti di notevole rilevanza nei mercati finanziari di tutto il mondo. La loro importanza è dovuta al possibile largo impiego di questi contratti, utilizzati non solo per fini puramente speculativi, ma anche come strumenti di gestione del rischio e valorizzazione del capitale. Grazie al lavoro di Black&Scholes (1973), sono state poste le basi fondamentali per la valutazione di opzioni finanziarie di tipo europeo. Mediante la loro formula risolutiva è infatti possibile prezzare con moderata accuratezza e semplicità questi tipi di contratto. Nel corso degli anni la formulazione esposta da Black&Scholes è stata rielaborata e poi generalizzata anche per il caso di contratti più complessi come quelli americani. Rispetto alle opzioni europee, le opzioni americane possono essere esercitate in qualunque istante prima della scadenza. Per questo, la loro valutazione consiste nella ricerca di soluzioni per il problema differenziale a frontiera libera che scaturisce dalla possibilità di esercizio anticipato. In questa tesi sono riportati i principali contributi rivolti al pricing di opzioni americane mediante il metodo delle trasformate, e viene infine presentato un contributo originale. McKean (1965) per primo affronta tale problema di pricing risolvendo l'equazione alle derivate parziali di Black&Scholes per il prezzo del contratto americano in un dominio limitato (dalla frontiera di esercizio anticipato) utilizzando una trasformata di Fourier incompleta. In questo modo ottiene un'espressione integrale per il prezzo di un'opzione Call e per la frontiera libera. Jamshidian (1992), nota la soluzione di McKean, modifica opportunamente l'equazione di pricing e ne propone una versione non omogenea, risolvibile in un dominio illimitato. La soluzione di questa formulazione alternativa, che può essere ricavata utilizzando una trasformata di Fourier tradizionale o applicando il principio di Duhamel, risulta essere più semplice e possiede un preciso significato economico (prezzo della corrispondente opzione europea scritta sullo stesso sottostante e premio dovuto alla possibilità di esercizio anticipato). Chiarella nell'ultimo decennio ha adattato il metodo risolutivo introdotto da McKean-Jamshidian per il pricing di opzioni americane nell'ambito di modelli evoluti per il pricing, come quello di Merton (jump-diffusion), e di Bates (jump diffusion e volatilità stocastica). Sotto questi modelli, introdotti per affrontare e migliorare le limitazioni del modello di Black&Scholes, l'equazione di pricing, prima alle derivate parziali, è ora un'equazione integro-differenziale e per risolverla Chiarella ricorre al metodo delle trasformate. Lo scopo di questa tesi è trattare il problema di valutazione di opzioni americane all'ambito di un modello a volatilità stocastica con salti (Time changed Lévy process model) attraverso un metodo basato sulle trasformate. Prendendo a esempio il lavoro di Chiarella sviluppato per il modello di Bates, anche in questo caso viene introdotta una rappresentazione alla Jamshidian per il prezzo della Call partendo dall'equazione integro-differenziale di pricing. Per la formulazione esplicita delle componenti di questa rappresentazione, espresse come valori attesi condizionati, è necessario determinare tramite l'utilizzo delle trasformate di Fourier (rispetto alla variabile dei log-price) e di Laplace (introdotta per trattare le variazioni di volatilità nella PIDE), la densità di probabilità di transizione dall'equazione retrograda di Kolmogorov. Valutando poi il prezzo dell'opzione lungo la superficie di frontiera, è ottenuta un'equazione integrale per la frontiera libera stessa. In questo modo viene ricavato un sistema di equazioni integrali che risolte congiuntamente generano rispettivamente il prezzo e la frontiera di esercizio anticipato della Call americana. Sono infine affrontate le difficoltà correlate alla risoluzione di tale sistema integrale di pricing e in seguito proposte delle strategie numeriche per il calcolo della soluzione.