Finite element methods and discontinuous Galerkin methods for the numerical modeling of multiphase gas particle flows

The thesis is devoted to the numerical modeling of multiphase gas-particle flows. This work has been originally motivated by the need of developing numerical tools for the simulation of explosive volcanic eruptions. Due to the complexity of volcanic phenomena, that does not allow to reproduce them at the laboratory scale, mathematical and numerical models are achieving an essential role. Several theoretical and numerical challenges arise in the field of the simulation of explosive volcanic eruptions. The mathematical description of the real multiphase fluid is not trivial, due to the presence of a wide spectrum of solid components and a large number of chemical gaseous components that interact with each other. Concerning the numerical modeling of explosive volcanic eruptions, the main difficulties are related to the multiscale nature of the phenomena and to the wide variety of flow regimes involved. Further difficulties are related to the rigorous model verification and validation. In conclusion, the accurate and efficient simulation of realistic eruptive scenarios still represents a challenge for computational fluid dynamics. After a discussion on different approaches to the mathematical modeling of multiphase gas-particle flows, a model based on the Eulerian-Eulerian approach is presented for a mixture of a gaseous phase and N classes of solid particles, able to handle the widest range of physical phenomena. The mathematical model consists in a set of balance equations representing the mass, momentum and energy conservation. Appropriate closure equations are introduced, based on literature review. The dimensional analysis of the multiphase equations is carried out for significant test problems, both on the volcanic scale and the laboratory scale. In complex flow regimes, such as those encountered in natural volcanic phenomena, dimensional analysis is an effective tool to interpret numerical simulations and to reduce the physical and computational complexity of the model. The relative importance of different physical phenomena that take place in the volcanic jet and in the pyroclastic density current are assessed. In the volcanic jet problem, we show that the ejected multiphase mixture can be well approximated as inviscid. Gravitational effects and dissipation due to viscous and drag forces are negligible. Compressibility effects are important and a transonic regime can be expected. Moreover, the hypothesis of equilibrium between different phases is not valid and a fully multiphase mathematical model is needed to investigate the non-equilibrium dynamics between different phases. After the volcanic column collapse, in the pyroclastic current gravitational effects become dominant. When reproducing a multiphase jet on the laboratory scale, particle dynamics is strongly decoupled from gas dynamics. Moreover, viscous dissipation and the work done by the drag force may play a key role in the thermodynamics of the mixture. As a consequence, the thermodynamics processes that influence the jet dynamics on the laboratory scale may differ from those characterizing the volcanic jet dynamics. Two distinct numerical approximations of the multiphase flow equations are presented and validated, based on the finite volume and the discontinuous Galerkin approach. The proposed finite volume scheme achieves second order accuracy in space and time and it is validated against experimental and numerical results in both supersonic and subsonic regimes. The underexpanded jet problem on the laboratory and volcanic scale, the particle-laden gravity current and the collapsing jet problem are taken as benchmark tests. Supersonic and subsonic regimes are well described by the finite volume scheme. The multidimensional second order spatial discretization is essential to accurately capture the shock wave pattern observed in underexpanded jets and to reduce numerical diffusion. Validation against experiments and comparison against numerical results is satisfactory. The alternative p-adaptive discontinuous Galerkin approach allows to achieve higher accuracy, while keeping a small computational stencil and a relatively limited computational cost thanks to a p-adaptivity approach. In the present work, the discontinuous Galerkin scheme is applied to solve multiphase gas-particle equations that accounts for drag and heat exchange coupling between different phases. Appropriate flux limiting and slope limiting techniques are applied to the proposed discontinuous Galerkin approximation of the multiphase flow equations. The discontinuous Galerkin approach is tested on several benchmark problems in the one-dimensional case. In particular, monophase and multiphase shock tube test cases are considered in order to assess the accuracy, the limiting techniques properties and the computational efficiency obtained thanks to the p-adaptive approach. We show that slope limiting and flux limiting techniques are essential in multiphase shock tube problems to guarantee the positivity of physical quantities and the stability of the numerical solution. The p-adaptive approach is able to reduce the computational cost up to 50% by keeping a good accuracy on the numerical solution. In the last part of the work, the finite volume numerical model is applied to study the effect of gas-particle non-equilibrium on underexpanded volcanic jets by assuming monodisperse, bidisperse and polydisperse mixtures. By means of a scaling analysis based on particle Stokes numbers St, i.e., the ratio between the particle relaxation time and the Mach disk formation time of the underexpanded jet, we classify solid particulate into two categories, namely fine and coarse particles. Fine particles are tightly coupled with the gas phase and do not modify the structure of the shock wave pattern in the jet. On the contrary, coarser particles are decoupled from the gas phase and strongly influence the jet decompression structure, including the intensity, shape and position of the Mach disk. On the basis of the results of the time scale analysis, an hybrid pseudogas-multiphase model is proposed, in which fine particles and the gas phase are modeled together as a pseudogas with average thermodynamics properties, whereas coarse particles are grouped together into a representative class of solid particles with average properties. Depending on the mass ratio between fine (St << 1) and coarse (St >> 1) particles, the jet flow pattern can dramatically change, leading to the obliteration of the Mach disk structure. Numerical results confirm the validity of the hybrid approach for the simulation of monodisperse, bidisperse and polydisperse underexpanded jets and highlight the key effect of the total grain size distribution on the underexpanded jet and on the overall stability properties of the eruptive column. The developed methodology and techniques are general and can be extended to the many different multiphase gas-particle flows that can be encountered in geophysical and industrial applications.

La tesi tratta il problema della modellazione numerica dei flussi multifase composti da gas e particelle solide. Questo lavoro è stato originariamente motivato dalla necessità di sviluppare strumenti numerici per la simulazione di eruzioni vulcaniche esplosive. A causa della complessità dei fenomeni vulcanici e dell'impossibilità di riprodurli su scala di laboratorio, i modelli matematici e numerici stanno acquisendo un ruolo essenziale nella comprensione del fenomeno. La simulazione numerica di eruzioni vulcaniche esplosive rappresenta una sfida da un punto di vista modellistico e numerico. La descrizione matematica del miscela multifase che caratterizza tali fenomeni non è semplice, a causa alla presenza di un ampio spettro di componenti solide e di un gran numero di componenti gassose che interagiscono tra loro. Per quanto riguarda la modellazione numerica, le principali difficoltà sono legate alla natura multiscala dei fenomeni e alla varietà di regimi coinvolti. Ulteriori difficoltà sono legate alla verifica e validazione rigorosa del modello. In conclusione, la simulazione accurata ed efficiente di scenari eruttivi realistici rappresenta ancora una sfida per la fluidodinamica computazionale. Dopo una discussione sui diversi approcci alla modellazione matematica dei flussi multifase composti da gas e particelle solide, viene presentato un modello per una miscela composta da una fase gassosa e N classi di particelle solide basato su un approccio Euleriano. Il modello matematico consiste in un sistema di equazioni di bilancio che rappresentano la conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia per ciascuna fase. Opportune equazioni di chiusura e relazioni costitutive vengono introdotte per ciascuna componente. In seguito, vengono introdotte le equazioni multifase in forma adimensionale. Queste sono applicate a problemi test significativi, sia su scala vulcanica, sia su scala di laboratorio. In fenomeni complessi, come quelli che si osservano durante eruzioni vulcaniche esplosive, l'analisi dimensionale è uno strumento efficace per interpretare i risultati delle simulazioni numeriche e per ridurre la complessità fisica e computazionale del modello. L'analisi dimensionale proposta mette in evidenza l'importanza relativa di diversi fenomeni fisici che avvengono nel getto vulcanico e nella corrente piroclastica. Nel problema del getto vulcanico, mostriamo che la miscela multifase può essere ben approssimata come un fluido inviscido. Effetti gravitazionali e dissipazione viscosa sono trascurabili. Gli effetti della comprimibilità del gas sono importanti ed il regime è tipicamente transonico. Inoltre, l'ipotesi di equilibrio tra fasi differenti non è valida e un modello matematico multifase è necessario per studiare le dinamiche di non equilibrio tra fasi differenti. Dopo il collasso della colonna vulcanica, nella corrente piroclastica gli effetti gravitazionali diventano dominanti. In un getto multifase sulla scala di laboratorio, la dinamica delle particelle è fortemente disaccoppiata dalla dinamica del gas. Inoltre, dissipazione viscosa e il lavoro compiuto dalla forza di attrito tra le fasi possono svolgere un ruolo chiave nella termodinamica della miscela. Di conseguenza, i processi termodinamici che influenzano la dinamica del getto sulla scala di laboratorio possono essere differenti da quelli che caratterizzano la dinamica del getto vulcanico. Nella tesi vengono presentati e validati due approcci distinti per l'approssimazione numerica delle equazioni multifase. Il primo approccio è basato sul metodo ai volumi finiti, con una approssimazione del secondo ordine di accuratezza in spazio e in tempo. Il metodo è validato facendo un confronto con dati sperimentali e numerici sia in regime subsonico che in regime supersonico. In particolare, vengono presi come riferimento il test del getto sottoespanso su scala di laboratorio e su scala vulcanica, il test della corrente di densità e il problema del collasso del getto vulcanico. Lo schema ai volumi finiti fornisce risultati accurati sia nel caso subsonico che nel caso supersonico. L'approssimazione al secondo ordine di accuratezza in spazio è essenziale per riprodurre in modo corretto l'onda d'urto che si osserva nel getto sottoespanso e per ridurre la diffusione numerica. Nel complesso, la validazione e il confronto con i risultati sperimentali e numerici è soddisfacente. Il secondo approccio proposto si basa sul metodo degli elementi finiti discontinui (Discontinuous Galerkin), che consente di ottenere una maggiore accuratezza, pur utilizzando uno stencil computazionale minimo. Per limitare il costo computazionale è stato introdotto un algoritmo di p-adattività. Nel presente lavoro, il metodo degli elementi finiti Discontinuous Galerkin viene applicato per risolvere le equazioni multifase gas-particella. Opportune tecniche di flux limiting e slope limiting sono introdotte al fine di garantire la monotonia della soluzione numerica. Lo schema Discontinuous Galerkin è testato su diversi problemi di riferimento nel caso unidimensionale e nel caso bidimensionale. In particolare, il problema dell'onda d'urto monodimensionale è stato risolto al fine di valutare l'accuratezza dello schema e l'efficienza computazionale della tecnica di p-adattività introdotta. Abbiamo verificato che le tecniche di flux limiting e slope limiting sono essenziali per garantire la positività delle grandezze fisiche e la stabilità della soluzione numerica. L'algoritmo di p-adattività è in grado di ridurre il costo computazionale fino al 50% mantenendo una buona accuratezza della soluzione numerica. Nell'ultima parte della tesi, il modello numerico ai volumi finiti è applicato per studiare gli effetti di non equilibrio tra gas e particelle solide sulla dinamica dei getti vulcanici sottoespansi. Vengono considerate miscele monodisperse, bidisperse e polidisperse. Mediante un'analisi di scala basata sul numero di Stokes, definito come il rapporto tra il tempo di rilassamento della particella e il tempo di formazione del disco di Mach del getto sottoespanso, abbiamo classificato le particelle solide in due categorie, fini e grossolane. Le particelle fini sono strettamente accoppiate con la fase gassosa e non modificano la struttura dell'onda d'urto nel getto. Al contrario, le particelle grossolane sono disaccoppiate dalla fase gassosa e influenzano fortemente la struttura di decompressione del getto, in particolare l'intensità, la forma e la posizione del disco di Mach. Sulla base dei risultati dell'analisi delle scale temporali, in questa tesi si propone un ibrido pseudogas-multifase, in cui le particelle fini e la fase gassosa sono modellate come un unico pseudogas con proprietà termodinamiche medie, mentre le particelle grossolane vengono raggruppate in un'unica classe di particelle solide con proprietà medie. A seconda del rapporto di massa tra particelle fini (St << 1) e particelle grossolane (St >> 1), la struttura del getto sottoespanso può cambiare drasticamente. In particolare, la presenza di particelle grossolane può portare in alcuni casi alla cancellazione della struttura del disco Mach. I risultati numerici confermano la validità dell'approccio ibrido per la simulazione di getti sottoespansi monodispersi, bidispersi e polidispersi ed evidenziano l'effetto chiave della distribuzione granulometrica sul getto sottoespanso e sulle proprietà di stabilità complessiva della colonna eruttiva. La metodologia e le tecniche sviluppate sono generali e possono essere estese ai numerosi esempi di flussi multifase composti da gas e particelle solide che possono essere incontrati in applicazioni geofisiche e industriali.