Thermal transpiration and Poiseuille flow in a Knudsen compressor

The main objective of the present work is to analyze the opposing effects of thermal-transpiration flow and Poiseuille flow in a narrow conduit like the one employed in a Knudsen compressor or Knudsen pump. We will first introduce the basics about the Boltzmann equation (definition, brief physical intepretation, applicability, main issues, etc.). Then, the models used to describe the problem at hand, namely ES-Model and BKW-Model (also known as BGK-Model), will be explained alongside with all the information needed to apply them (simplifications deriving from the geometry of the domain and spherical simmetry of the collision operator). Thereafter, the setting of the problem will be detailed: what a Knudsen pump is and the particular kind of Knudsen pump we will deal with (basically one formed by two parallel plates and two tanks). The two kinds of flows that are to be found in the conduit of this pump will be then pointed out: the Poiseuille flow (well know from the fluid dynamics) and the more subtle thermal-transpiration (or thermal-creep) flow. Eventually, the problem will be solved by applying an asymptotical expansion: zeroth-oder solution, first-order solution and second-order solution. The zeroth-order solution has been analytically found. The first-order solution will be numerically computed after the application of a factorization and of the model equations. The second-order solution will not be explicitly computed but its analysis will lead to the characterization of the macroscopic quantities. Then, the unsteady case of flow between two tanks linked by a thin conduit will be considered. The final chapter will be dedicated to the data obtained and to the conclusions. The data obtained for the adimensionalized mass-flow rate are thought of as being more accurate than those previously available for the specific cases under consideration. The data obtained in case of accommodation coefficient different from 1 and in the unsteady case have not been computed before.

L'obiettivo principale di questo lavoro è quello di analizzare gli effetti contrastanti del flusso di traspirazione termica e del flusso di Poiseuille in un condotto sottile come quello usato nella pompa di Knudsen. Come prima cosa verrà introdotta l'equazione di Boltzmann (definizione, breve descrizione fisica, applicabilità, principali problemi che presenta, etc.). In seguito verranno presentati i modelli usati per risolvere il nostro problema (Modello ES, Modello BKW, detto anche Modello BGK) assieme alle informazioni necessarie alla loro implementazione (semplificazioni derivanti dalla geometria del problema e dalla proprietà di simmetria sferica caratterizzante l'integrale collisionale). Successivamente, si presenterà il problema da risolvere: verrà spiegato che cos'è una pompa di Knudsen in generale e verrà presentato il funzionamento di quella che dovrà essere trattata (è una pompa formata da due piastre parallele e due serbatoi). Verranno evidenziati i due tipi di flusso che si incontrano in questo tipo di problemi: il flusso di Poiseuille (già noto dalla fluidodinamica) e quello meno evidente di traspirazione termica. Infine, il problema verra risolto applicando un'espansione asintotica: soluzione di ordine zero, soluzione di ordine uno e soluzione di ordine due. La soluzione di ordine zero è stata ricavata in modo analitico. La soluzione di ordine uno sarà trovata numericamente grazie all'applicazione di una fattorizzazione e delle equazioni modello. La soluzione di ordine due non viene calcolata ma la sua analisi porterà alla caratterizzazione delle quantità macroscopiche. Verrà poi considerato il caso di flusso instazionario tra due serbatoi connessi attraverso un condotto sottile. L'ultimo capitolo sarà dedicato ai dati ottenuti ed alle conclusioni. I dati ottenuti per il flusso di massa per unità di tempo adimensionalizzato sono considerati più accurati di quelli ottenuti precedentemente per i specifici casi in considerazione. I dati ottenuti in caso di coefficiente di accomodamento diverso da 1 e nel caso instazionario non sono stati ricavati precedentemente.