Entropy gradient dynamical models for a thermodynamic system and their realisation in kinetic theory

Thermodynamics is divided into the branches of kinematics, which deals with the description of the possible states of a system, and dynamics, which aims at describing the causes and the effects of the motion of the system. Regarding the second aspect, a dynamical law of evolution for thermodynamic systems does not exist. The resolution of this problem would not only be a milestone in the field of Physics, but it would also allow a more precise description of the evolution of non-equilibrium systems, a need felt in the most different sectors of engineering. In particular, through its realization in Kinetic Theory, it would help in modelling the time-evolution of rarefied systems for which the Navier-Stokes equations do not apply. Among the dynamical principles, one of those that have most frequently been proposed is the Maximum-Entropy Production Principle. The present work is focused on the dynamical modelling of thermodynamic systems and is articulated in three parts. The first is a systematic review of some dynamic principles proposed during the history of thermodynamics. The second aims at understanding similarities and differences between the Steepest Entropy Ascent (SEA) dynamical model proposed by Beretta and the GENERIC dynamic formalism developed, among others, by Öttinger e Grmela. In order to accomplish this task, a reformulation of SEA dynamics using Differential Geometry formalism has been considered necessary and constitutes one of the most innovative outputs of the present thesis. It is shown that both dynamic models are of the 'entropy-gradient' type, the main difference being that GENERIC is built in a more structured 'manifold'. In the third part, the realization of both these dynamical models in Kinetic Theory is illustrated: the Boltzmann equation is interpreted differently using the building blocks of the two models. Moreover, as SEA aims at proposing new model equations for its resolution, numerical results of the application of SEA methods for the relaxation from non-equilibrium states are presented: good agreement with the exact solution is shown for near-equilibrium situations, while poorer results are obtained farther from equilibrium. This means that improvements, with particular regard to the choice of the metric, are needed.

La termodinamica è divisa in cinematica, che si occupa della descrizione dei possibili stati di un sistema, e dinamica, che mira a descrivere le cause e gli effetti del moto del sistema. In merito al secondo aspetto, una legge di evoluzione dinamica per un sistema termodinamico non esiste. La soluzione a questo problema non solo rappresenterebbe una pietra miliare nel campo della Fisica, ma permetterebbe anche una descrizione più accurata dell'evoluzione dei sistemi di non-equilibrio, un'esigenza sentita nei più diversi settori dell'ingegneria. In particolare, attraverso la sua realizzazione nella Teoria Cinetica, aiuterebbe a modellare l'evoluzione temporale di sistemi rarefatti, per cui le equazioni di Navier-Stokes non sono applicabili. Tra i vari principi dinamici, uno di quelli più frequentemente proposti è il Principio di Massima Produzione di Entropia. Il presente lavoro di tesi si focalizza sulla modellazione dinamica di sistemi termodinamici ed è articolato in tre parti. La prima è una review sistematica di alcuni principi dinamici proposti nella storia della termodinamica. La seconda parte ha come obiettivo la comprensione delle analogie e delle differenze tra il modello dinamico Steepest Entropy Ascent, proposto da Beretta, e il formalismo GENERIC, sviluppato, tra gli altri, da Öttinger e Grmela. Per realizzare questo, si è resa necessaria una riformulazione della dinamica SEA attraverso il formalismo della Geometria Differenziale. Questa parte costituisce uno degli output più innovativi della presente tesi. Si mostra che entrambi i modelli dinamici sono del tipo ‘gradiente-di-entropia’, con la principale differenza che GENERIC è sviluppato in una ‘varietà’ più strutturata. Nella terza parte del lavoro, si illustra la realizzazione di entrambi i modelli dinamici nella Teoria Cinetica: l’equazione di Boltzmann è interpretata in modo differente utilizzando i blocchi costitutivi dei due modelli. Inoltre, dal momento che SEA mira a proporre nuovi modelli per la risoluzione dell'equazione, si presentano i risultati numerici dell'applicazione di metodi SEA per il rilassamento da uno stato di non-equilibrio: un buon accordo con la soluzione esatta è evidenziato per situazioni vicine all'equilibrio, mentre lontano dall'equilibrio i risultati sono meno soddisfacenti. Questo significa che sono necessari miglioramenti, con particolare riferimento alla scelta della metrica.