Filtering of pure jump Markov processes with noise free observation

The aim of this work is to describe and analyze the problem of stochastic filtering of continuous-time pure jump Markov processes with noise-free observation. A couple of continuous-time stochastic processes, respectively said the unobserved process and the observed process, defined on some probability space and with values in two distinct measurable spaces, is given. It is assumed that the unobserved process is a pure jump time-homogeneous Markov process, of known rate transition measure. The observation process is not directly affected by noise. Finally, it is supposed that the observed process is related to the unobserved process via a deterministic function. An explicit equation for the filtering process is derived in the Thesis. The task is accomplished by writing the unobserved and the observed processes in terms of two marked point processes. Then martingale calculus is applied to the latter processes in order to provide the explicit form of the aforementioned equation.

L'obiettivo di questa Tesi è la descrizione e l'analisi del problema di filtraggio di un processo di Markov di puro salto a tempo continuo, con osservazioni prive di rumore. È assegnata una coppia di processi stocastici a tempo continuo, detti, rispettivamente, processo non osservato e processo osservato, definita in uno spazio di probabilità e a valori in due spazi misurabili distinti. Si assume che il processo non osservato sia un processo di Markov di puro salto omogeneo nel tempo, con misura dei ratei di transizione nota. Sul processo osservato non agisce direttamente alcun rumore. Infine, si suppone che il processo osservato sia funzione del processo non osservato attraverso una funzione deterministica. Nella Tesi si ricava un'equazione esplicita per il processo di filtraggio. L'obiettivo è raggiunto scrivendo i processi non osservato e osservato in termini di due processi di punto marcati. Il calcolo stocastico che si origina dalla teoria delle martingale, è applicato a questi ultimi processi, onde fornire l'espressione cercata per l'equazione di filtraggio.