Vincoli interni isotropi in elasticità finita

Internal constraints in finite elasticity allow to model some types of materials widely used in applications. This thesis work deals with the ways in which constraints are imposed from the purely mathematical point of view, showing how they are described by differentiable submanifolds of the space of deformation gradients and making a brief comparison with holonomic systems studied in rational mechanics. Introducing internal constraints for an elastic body, the associated stress tensor can be decomposed into the sum of a contribution due to the response function and one that represents the constraints. Particular attention has been given to the possible dimension of an isotropic constraint manifold, which is a topic already studied in literature and on which contrasting conclusions were drawn. It has therefore been proved that, apart from the cases of rigidity and conformality, the dimension of an isotropic constraint manifold is always 8, or equivalently 5 if it is considered as a differentiable submanifold of the space of symmetric strain tensors.

I vincoli interni nell'ambito dell'elasticità finita permettono di modellare alcune tipologie di materiali molto utilizzate nelle applicazioni. In questo elaborato di tesi vengono affrontate le modalità con cui si impongono i vincoli dal punto di vista prettamente matematico, mostrando come essi vengano descritti da sottovarietà differenziabili dello spazio dei gradienti di deformazione e facendo un breve confronto con i sistemi olonomi studiati nella meccanica razionale. Introducendo dei vincoli interni per un corpo elastico, il tensore degli sforzi associato risulta scomponibile nella somma di un contributo dovuto alla funzione risposta e di uno che rappresenta i vincoli. Particolare attenzione è stata rivolta alle possibili dimensioni di una varietà di vincolo isotropa, argomento già affrontato in letteratura e sul quale sono state tratte conclusioni contrastanti. È stato quindi dimostrato che, a parte i casi di rigidità e conformalità, la dimensione di una varietà di vincolo isotropa è sempre 8, o equivalentemente 5 se viene considerata come sottovarietà differenziabile dello spazio dei tensori simmetrici e definiti positivi.