Asymptotic time behaviour of nuclear systems : a Monte Carlo approach

In recent years, concerns about reactor safety have increased the need for computational methods that can provide accurate information about time-evolving scenarios, such as those occurring by design (transients, start-up, etc.) or by accident (rod ejection, for instance). In this respect, the attention has been directed to the Monte Carlo methods, which are very accurate since introduce a minimal amount of approximations. Monte Carlo methods including the time dependence have been recently proposed: the Dynamic Monte Carlo methods, which allow assessing the complete time evolution of the neutron population. However, a non-negligible drawback is that these methods suff er from slow convergence and are very time-consuming. If one is interested in the asymptotic (long time) behaviour of the system, instead of the full time dynamics, a possible solution is to resort to the alpha -static Monte Carlo method, which is very accurate and less time-consuming than dynamic methods. This latter is the subject of this thesis. We will show that the alpha -static Monte Carlo method allows determining the asymptotic time behaviour of the neutron population by transforming the time-dependent Boltzmann equation into an eigenvalue problem (the so called alpha-eigenvalue). The mathematical theory at the basis of this method and the properties of the alpha -eigenvalue spectrum of the Boltzmann operator will be explained; in particular, we will show that the asymptotic time behaviour of the neutron population is dominated by the algebraically largest eigenvalue, named the fundamental eigenvalue. Then, we will present a Monte Carlo algorithm to solve the eigenvalue problem. Finally, we will address the diff usion of neutrons in moderating materials and we will assess the asymptotic time behaviour of the system by using the alpha-static method. To this aim, during the work of this thesis, we have developed a Monte Carlo alpha -static code, based on the algorithm proposed, which provides the fundamental eigenvalue alpha- 0 and the associated eigenfunction. We have also developed a dynamic Monte Carlo code, which can be used as reference to assess the time behaviour of the system. Finally, we have developed a deterministic solver, which provides a picture of the entire alpha-eigenvalue spectrum. The key results of the simulations performed will be presented with a double aim: to validate the alpha-static methods and to explore some interesting physical properties of moderators.

Negli ultimi anni, la crescente attenzione verso la sicurezza dei reattori nucleari ha evidenziato la necessità di metodi computazionali che possano fornire informazioni accurate sulla dinamica degli scenari dipendenti dal tempo, sia quelli previsti by design (avvio del reattore, transitori di potenza, etc.) sia quelli incidentali, per esempio l'espulsione di una barra di controllo. In questo contesto, è naturale che l'attenzione si sia rivolta ai metodi Monte Carlo, nei quali le approssimazioni introdotte sono minime e, pertanto, sono molto accurati. Recentemente sono stati proposti dei metodi Monte Carlo che includono la dipendenza dal tempo: i metodi Monte Carlo dinamici, che permettono di stimare l'intera evoluzione temporale della popolazione neutronica. Tuttavia, questi metodi hanno un innegabile svantaggio: è necessario un considerevole tempo di calcolo per ottenere dati statisticamente validi. In alcune situazioni, può capitare che non sia necessario conoscere la dinamica completa del sistema considerato, ma che sia sufficiente il solo comportamento asintotico: in questo caso, una possibile soluzione consiste nel ricorrere al metodo Montecarlo alpha-statico che, pur essendo molto accurato, richiede tempi di calcolo decisamente inferiori rispetto ai metodi dinamici. Questa tesi è incentrata proprio sul metodo alpha-statico. Nel seguito, verrà mostrato come il metodo alpha -statico, trasformando l'equazione di Boltzmann dipendente dal tempo in un problema agli autovalori, consenta di trovare il comportamento asintotico nel tempo della popolazione neutronica. Nella tesi verranno descritte la teoria matematica alla base di tale metodo e le proprietà dello spetto degli autovalori associati all'operatore di Boltzmann; in particolare, verrà dimostrato che il comportamento asintotico della popolazione neutronica è dominato dal più grande tra gli autovalori: l' autovalore fondamentale alpha- 0. Successivamente, presenteremo un algoritmo Monte Carlo per risolvere il problema agli autovalori. In fine, tratteremo la diffusione dei neutroni nei materiali moderatori e cercheremo il comportamento asintotico del sistema usando il metodo alpha-statico. A tale scopo, durante questo lavoro di tesi, è stato sviluppato un codice Monte Carlo alpha-statico, basato sull'algoritmo proposto, capace di trovare l'autovalore fondamentale e l'auto-funzione a questo associata. Abbiamo sviluppato anche un codice Monte Carlo dinamico, il quale fornisce la completa evoluzione temporale del sistema; i dati forniti da questo secondo codice possono essere considerati i risultati di riferimento per valutare la correttezza delle informazioni fornite dal codice alpha-statico. Infine, abbiamo sviluppato anche un solver deterministico, che fornisce l'intero spettro degli autovalori . I risultati pi ù importanti delle simulazioni eff ettuate verranno presentati con un duplice obiettivo: la validazione dei metodi alpha-statici e lo studio di alcune interessanti propriet à fi siche dei moderatori.