Optimization of unsteady PDEs systems using a multi-objective descent method

The aim of this work is to develop an approach to solve minimization problems in which the functional that has to be minimized is time dependent. In the literature, the most common approach when dealing with unsteady problems, is to consider time- average quantities: however, this approach is limited since the dynamical nature of the state is neglected. These considerations lead to the idea, introduced for the first time in this work, of building a set of cost functionals by evaluating a single cost functional at different sampling times: in this way, we reduce the unsteady optimization problem to a multi-objective optimization one, that will be solved using the Multiple Gradient Descent Algorithm. Moreover, we propose new hybrid approach, which will be referred to as windows approach: in this case, the set of cost functionals is built by doing a time-average operation over multiple intervals. The following work has been developed during a five-months internship within the OPALE project team at INRIA Méditerranée (Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique) - Sophia Antipolis, France.

Lo scopo di questo lavoro è quello di sviluppare un approccio per risolvere problemi di minimizzazione in cui il funzionale da minimizzare è tempo-dipendente. L’approccio più comune in letteratura in questi casi è quello di considerare quantità mediate in tempo: tuttavia, questo approccio risulta limitato in quanto la natura dinamica del fenomeno è trascurata. Queste considerazioni hanno portato all’idea, proposta per la prima volta in questo lavoro, di costruire un insieme di funzionali costo valutando in alcuni istanti temporali il funzionale costo tempo-dipendente: in questo modo il problema di ottimizzazione non stazionaria è stato ridotto a un problema di ottimizzazione multi-obiettivo, per risolvere il quale sarà utilizzato MGDA (Multiple Gradient Descent Algorithm), sviluppato dal team. Inoltre, viene qui proposto anche un nuovo approccio ibrido, che chiameremo approccio windows: esso consiste nel costruire l’insieme di funzionali costo facendo un’operazione di media su diversi intervalli temporali. Il seguente lavoro è stato sviluppato durante uno stage di cinque mesi nel team OPALE presso INRIA Méditerranée (Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique) - Sophia Antipolis, Francia.