On the Swift-Hohenberg equation with slow and fast dynamics : well posedness and long time behavior

In this thesis we discuss the mathematical analysis of the Swift-Hohenberg equation that describes the phenomenon of Rayleigh-Bénard convection in which a fluid is confined between a hot and a cold plate. Thanks to its rich spatio-temporal dynamics, it represents a paradigm in the study of pattern formation. The Swift-Hohenberg equation is also employed in the phase field theory to model the transition from an unstable to a (meta)stable state. We consider a recent generalisation of the original equation, obtained by introducing an inertial term to predict fast degrees of freedom in the system. We first establish the existence, the uniqueness and the regularity of the solutions with respect to the data to both the equations. Then the solutions are interpreted as dynamical systems in suitable phase space. By making use of the theory of attractors for infinite dimensional dissipative dynamical systems, we analyse the long-time behavior of the solutions. In particular, the main results concern the existence of the global and exponential attractors. Finally, reading the equation with the inertial term as a singular perturbation of the original equation, we prove the upper semicontinuity of the global attractor and we construct a family of exponential attractors which is Hölder continuous with respect to the perturbative parameter of the system.

In questa tesi trattiamo l'analisi matematica dell'equazione di Swift-Hohenberg che descrive il fenomeno della convezione di Rayleigh-Bénard in cui un fluido è confinato tra una piastra calda e una fredda. Grazie alla sue ricche dinamiche spazio-temporali, essa rappresenta un paradigma nello studio di formazione di pattern. L'equazione di Swift-Hohenberg viene anche impiegata nella teoria del campo di fase per modellizzare la transizione da uno stato instabile a uno (meta)stabile. Noi consideriamo una recente generalizzazione dell'equazione originale, ottenuta introducendo un termine inerziale per prevedere i gradi di libertà veloci nel sistema. Anzitutto determiniamo l'esistenza, l'unicità e la regolarità delle soluzioni rispetto ai dati iniziali per entrambe le equazioni. In seguito le soluzioni vengono interpretate come sistemi dinamici in appropriati spazi delle fasi. Facendo uso della teoria degli attratori per sistemi dinamici dissipativi infinito dimensionali, analizziamo il comportamento per tempi grandi delle soluzioni. In particolare, i principali risultati riguardano l'esistenza dell'attratore globale e dell'attratore esponenziale. Infine, leggendo l'equazione con il termine inerziale come una perturbazione singolare dell'equazione originale, proviamola continuità superiore dell'attratore globale e costruiamo una famiglia di attratori esponenziali la quale è Hölder continua rispetto al parametro perturbativo del sistema.