Advanced techniques for the generationn and the adaptation of complex surface meshes

In this thesis we develop new tools for optimizing computational grids in view of the approximation of partial differential equations on surfaces as well as of different applications: from the statistical analysis of large data sets, to the mesh generation of CAD models, to the analysis of geological seismic data in basins of interest. More precisely, we focus on surface meshes composed by triangular elements and we consider both isotropic and anisotropic grids. Independently of the field of interest, we pursue the goal of identifying the ``best mesh'', i.e., the mesh that provides the best approximation. As expected, this does not represent a straightforward task. In the literature the same concept of ``best mesh'' often represents an open issue, since strictly related to the application we are dealing with. As a consequence, according to the framework under investigation, we have developed ad hoc mesh adaptation and/or mesh generation methods to properly fit the specific demands. Different original contributions are provided in this thesis: a new a-priori and a-posteriori error analysis for the generation of anisotropic surface adapted meshes; a new mesh simplification strategy to reduce the computational cost associated with the statistical analysis of huge amounts of data; a new anisotropic mesh generation method to approximate the geometry of a CAD model based on the embedding of the starting grid into a higher dimensional space; specific surface mesh operations to manage the complex geometries characterizing geological domains.

In questa tesi ci siamo concentrati sullo sviluppo di nuovi metodi per l'ottimizzazione di griglie nell'ambito dell'approssimazione di equazioni differenziali alle derivate parziali definite su superfici. Oltre a questa area di ricerca, ci siamo anche interessati di ambiti più applicativi, quali, l'analisi statistica di grandi mole di dati, la generazione di griglie di modelli CAD e partendo da dati sismici di un bacino di interesse. In tutti i metodi e le teorie proposte abbiamo considerato prevalentemente griglie di superficie composte da elementi triangolari e, inoltre, abbiamo tenuto presente sia il contesto isotropo che quello anisotropo. In tutti gli ambiti presi in esame, ci siamo posti l'obiettivo di trovare la ``griglia migliore'', ossia la griglia che fornisce il migliore risultato. Come era da aspettarsi, la ricerca di una griglia siffatta, non è un compito facile. In letteratura il concetto di ``griglia migliore'' è una questione ancora aperta e strettamente legata al contesto preso in considerazione. Di conseguenza abbiamo deciso di sviluppare una serie di metodi per ottimizzare ``ad-hoc'' la griglia che dipendono strettamente dal contesto in cui viene impiegata. In questa tesi sono presenti vari contributi originali: una nuova analisi a priori ed a posteriori dell'errore per la generazione di griglie di superficie anisotrope; una nuova strategia di semplificazione di griglia per ridurre il costo computazionale dell'analisi statistica di una grande mole di dati; un nuovo metodo per la generazione di griglie di superficie anisotrope di geometrie di CAD basato sull'immersione in uno spazio di dimensione più elevata; specifiche operazioni per la gestione di complesse geometrie di un bacino sedimentario.