Conservative functions: an approach in nonlinear and switched network analysis

Conservative functions or generalized powers in the electric network are those that satisfy the balance Tellegen’s theorem, and they are powerful tools in different contests. The attention for these functions is still, at the present time, very animated. The main reason behind that is the wide diffusion and usefulness of the reactive power for practical and theoretical point of view for linear networks under sinusoidal steady state. It is significant to recognize two formal properties of reactive power under sinusoidal steady state conditions: the balance property and its invariance on resistors. The balance property states that the algebraic sum of reactive power on the single one-port elements in a network is equal to the corresponding term on the whole network. The invariance means that the reactive power is always nil on resistors. However, important changes have occurred in the last 50 years. In the electric networks, the presence of power electronics equipment, arc and induction furnaces, in addition to clusters of personal computers, represent major nonlinear and parametric loads proliferating among industrial and commercial customers. The main problems emerge from the flow of nonactive power caused by harmonic currents and voltages. The efforts to extend the concept of reactive power also under distorted conditions provided significant results for the analysis and theoretical comprehension of the distorted steady state. The literature on this subject is very large; in the past many authors have proposed different definitions of nonactive power in distorted steady state. In particular, when power converters are present in networks, as sources of distortion or as active filters to eliminate this distortion, these networks are considered as time-variant networks and called switched networks. They pose several challenges in the construction of efficient time domain simulators. Due to the wide range of applications, operating conditions, and phenomena to be studied, many different tools for computer analysis and simulation of switched networks have been developed. The switch model plays an important role within the analysis and simulation of switched networks. The ideal switch model is the simplest possible one and has several advantages with respect to others. In the presence of switching, classical issues that rise up are related to network solution and inconsistent initial conditions. Network solution is fulfilled by several methods. The main one is the complementary approach, where commutations are basically the external constraints to a time-invariant multi-port. Meanwhile, inconsistent initial conditions, caused by switching, imply discontinuities on state variables and impulsive behavior on some voltages and/or currents. In fact, Dirac’s delta impulses of voltage and/or current may occur at the switching transitions. Impulses redistribute charge and flux at the switching instants when capacitor voltages and inductor currents, respectively, are discontinuous. Nevertheless, as a whole it appears to lack general principles as well as applications of generalized powers in the field of switched networks. In this work, according to the concept of “area” on the v-i plane, a new approach called Swept Area Theory, under both nonlinear continuous and discontinuous conditions, is developed. Novel conservative functions, as Area Velocity and Closed Area over Time, involved in this theory, are proposed. An analysis is carried out, by means of these functions, over nonlinear R, L, C elements and over the ideal switch and ideal diode. In addition, jump discontinuities are discussed in detail. The Closed Area over Time is related to the harmonic reactive powers and under sinusoidal steady state becomes proportional to the classical reactive power. A balance rule concerning harmonic reactive powers over nonlinear resistor under continuous conditions is obtained and discussed as a novel interesting result. This aspect impacts on a possible extended definition of reactive power under distorted conditions. Thanks to the Switching Power, a novel quantitative relation between hard switching commutations and Closed Area over Time is obtained, with both theoretical and applicative relevance. More explanation is presented through a demonstration that shows how ideal switch and power converters can become sources of reactive power. Issues of principle regarding the ideal switch model with respect to the real one is another important result of this work. Moreover, concepts of Ideal Switch Multi Port and multilevel voltage/current elements are proposed as a unified theory of power converters, whereby most of the power converters existing can be recognized in a general and modular way. Furthermore, the Swept Area Theory is extended to the Ideal Switch Multi Port in order to find relations between Switching Power and commutations of power converters. In this way, the possibility of a power converter to generate or absorb reactive power is proved. Hence, a contribution will be available to develop new control strategies of power converters based on the Swept Area Theory. Another conservative function, called Jump Power, is proposed in order to address some properties and issues of principle regarding one-port elements, in particular ideal diodes and ideal switches, in the presence of jump discontinuities. Some theorems based on the Jump Power are stated. In particular, possible conditions in networks are addressed whereby soft switching, passive or active hard switching commutations occur. Other conservative functions, called Inductive Impulsive Power and Capacitive Impulsive Power, are defined in order to analyze the switched networks in the presence of Dirac’s delta impulses in the electric quantities. These impulses are due to inconsistent initial conditions caused by switching. Also in this case, some properties and issues of principle regarding one-port elements, in particular ideal switches and ideal diodes, are addressed. Moreover, some theorems based on Inductive Impulsive Power and Capacitive Impulsive Power are stated. These conservative functions, despite having similar properties to the Connection Energy that was presented in the past literature as a function regarding the whole network, are still more powerful and meaningful. In fact, through Inductive Impulsive Power and Capacitive Impulsive Power functions, it is possible to separate the effect of capacitors from inductors. Furthermore, an interesting result is found: the ideal switch can absorb or generate electric energy when an impulse of current or voltage occurs meanwhile the ideal diode can only generate. These facts are important mathematical aspects regarding the ideal model of switches and diodes. In some cases these facts cannot have a physical meaning as it is shown in analytical examples. However, the total energy absorbed by switching has a clear physical significance, as it is related to the variation of energy stored in the set of reactive elements or generated by electric sources. On the other hand, in the presence of more than one element, the partition of this energy among the different switching elements still has no physical correspondence with the loss of energy into the single element.

Le funzioni conservative o potenze generalizzate nelle reti elettriche sono quelle funzioni che soddisfano il teorema di Tellegen, e costituiscono potenti strumenti in differenti contesti. L’attenzione allo studio di queste funzioni è ancora al giorno d’oggi molto animato. Il motivo principale di ciò è dovuto alla grande diffusione e al grande utilizzo, sia da un punto di vista teorico sia pratico, della potenza reattiva in reti lineari funzionanti in regime sinusoidale. E’ importante riconoscere due proprietà formali della potenza reattiva in regime sinusoidale: la proprietà di conservazione e la proprietà di invarianza sui resistori. La proprietà di conservazione afferma che la somma algebrica della potenza reattiva sui singoli bipoli è uguale al corrispondete termine dell’intera rete. La proprietà di invarianza significa che la potenza reattiva è sempre nulla sui resistori. Comunque, negli ultimi 50 anni sono avvenuti importanti cambiamenti nelle reti elettriche. La presenza di convertitori elettronici, forni ad induzione, forni ad arco e personal computer rappresentano carichi non lineari che stanno proliferando sempre più tra clienti commerciali ed industriali. Il problema principale emerge dal flusso di potenza non attiva causata da armoniche di correnti e tensioni. Lo sforzo per estendere il concetto di potenza reattiva anche in condizioni distorte ha condotto a risultati significativi per l’analisi e comprensione teorica del regime distorto stesso. La letteratura è piena di questi propositi. Nel passato molti autori hanno proposto diverse definizioni di potenza non attiva in condizioni distorte. In particolare, quando nelle reti sono presenti convertitori statici come sorgenti di distorsione o come filtri attivi, queste reti vengono considerate tempo-varianti e chiamate reti commutanti. Queste pongono diverse sfide nella costruzione di efficienti simulatori nel dominio del tempo. Grazie al largo range di applicazioni, condizioni di funzionamento e fenomeni da studiare, sono stati sviluppati molti strumenti applicativi per PC per l’analisi e la simulazione delle reti commutanti. Il modello dell’interruttore gioca un ruolo importante all’interno dell’analisi e simulazione di queste reti. Il modello ideale dell’interruttore è il più semplice possibile e ha diversi vantaggi rispetto ad altri. In presenza di commutazioni, i classici problemi che sorgono sono correlati a trovare le soluzioni di una rete e alle condizioni iniziali inconsistenti. Il primo viene soddisfatto mediante diversi metodi. Il principale è il cosiddetto approccio complementare, dove le commutazioni vengono viste come vincoli esterni a un multi-porta tempo-invariate. Invece, il problema riguardante le condizioni iniziali inconsistenti, causate da commutazioni, implica discontinuità sulle variabili di stato e comportamenti impulsivi su tensioni e/o correnti. Infatti, nell’istante di commutazione possono sorgere impulsi di Dirac sulle tensioni e/o sulle correnti. Questi impulsi redistribuiscono la carica e il flusso quando tensioni di condensatori e correnti di induttori, rispettivamente, sono discontinue. Tuttavia, nel complesso risultano mancare principi generali come anche applicazioni delle potenze generalizzate nel capo delle reti commutanti. In questo lavoro, in base al concetto di “area” nel piano v-i, viene sviluppato un nuovo approccio chiamato Swept Area Theory, in condizioni non lineari sia continue sia discontinue. Inoltre, vengono proposte nuove funzioni conservative, coinvolte in questa teoria, come Area Velocity e Closed Area over Time. Viene effettuata un’analisi, mediante queste funzioni, sugli elementi R, L, C non lineari e su interruttori e diodi ideali. Inoltre, le discontinuità a salto sono discusse in dettaglio. La Closed Area over Time è correlata alle potenze reattive armoniche e in regime sinusoidale diventa proporzionale alla classica potenza reattiva. Una regola di conservazione riguardante le potenze reattive armoniche sui resistori non lineari è ottenuta e discussa come nuovo interessante risultato. Questo aspetto impatta su una possibile estensione del concetto di potenza reattiva in regime distorto. Grazie alla Switching Power, si ottiene una nuova relazione quantitativa tra le commutazioni in hard switching e la funzione Closed Area over Time, con rilevanza sia pratica che teorica. Inoltre, viene dimostrato come un interruttore ideale e i convertitori statici possano diventare sorgenti di potenza reattiva. Aspetti di principio riguardanti il modello dell’interruttore ideale rispetto a quello reale costituiscono un altro importante risultato di questo lavoro. Dopodiché, vengono proposti concetti di Multi Porta Switch Ideale ed elementi multilivello di tensione e corrente come teoria unificata sui convertitori statici, attraverso cui è possibile ritrovare molti dei convertitori esistenti in modo generale e modulare. In più, la Swept Area Theory viene estesa al Multi Porta Switch Ideale al fine di trovare relazioni tra la Switching Power e le commutazioni dei convertitori statici. In questo modo viene dimostrata la possibilità di un convertitore statico di poter generare o assorbire potenza reattiva. Quindi, viene dato un contributo per scoprire nuove strategie di controllo dei convertitori statici basate su questa nuova teoria. Un'altra funzione conservativa, chiamata Jump Power, viene proposta al fine di mirare a scoprire proprietà e aspetti di principio riguardanti i bipoli, in particolare diodi e interruttori ideali, in presenza di discontinuità a salto. Vengono affermati alcuni teoremi basati sulla Jump Power. In particolare, vengono date le possibili condizioni in una rete per cui è possibile avere commutazioni soft, active o passive hard switching. A seguito, vengono definite altre funzioni conservative chiamate Inductive Impulsive Power e Capacitive Impulsive Power al fine di analizzare le reti commutanti in presenza di impulsi di Dirac nelle grandezze elettriche. Questi impulsi sono dovuti a condizioni iniziali inconsistenti causate da particolari commutazioni. Anche in questo caso, vengono indicate alcune proprietà e aspetti di principio riguardanti i bipoli, in particolare diodi e interruttori ideali. Inoltre, vengono affermati alcuni teoremi basati sulle funzioni Inductive Impulsive Power e Capacitive Impulsive Power. Queste funzioni conservative, nonostante presentino proprietà simili alla Connection Energy che fu presentata nella letteratura passata come funzione riguardante l’intera rete, sono più potenti e significative. Infatti, attraverso di esse è possibile separare gli effetti dei condensatori da quelli degli induttori. Inoltre, è stato trovato un interessante risultato: l’interruttore ideale può generare o assorbire energia elettrica quando è sottoposto ad un impulso di tensione o corrente mentre il diodo ideale può solo generare. Questi fatti costituiscono importanti aspetti matematici riguardanti il modello ideale degli interruttori e dei diodi. In alcuni casi questi fatti possono non avere significato fisico come mostrato in esempi analitici. Comunque, la totale energia assorbita dall’insieme di tutti gli elementi commutanti ha un chiaro significato fisico, in quanto è correlata alla variazione di energia immagazzinata negli elementi dinamici o generata da sorgenti elettriche. Dall’altra parte, in presenza di più di un elemento, la partizione di questa energia tra i diversi elementi commutanti non ha fisica corrispondenza con la perdita di energia nel singolo elemento.