High order methods for Space Situational Awareness

The era of space exploration started in 1957 with the launch of the first man-made object, the soviet satellite Sputnik I. Since then a large number of man-made objects has been launched into space, and many of them are still orbiting the Earth. The large majority of objects currently orbiting the Earth is a result of fragmentations, mostly caused by collisions and explosions. These events can have catastrophic effects on the near-Earth environment: they increase the number of objects and, thus, the probability of further collisions, potentially leading to a collisional cascade. This scenario is named Kessler's syndrome after the name of the scientist who first analyzed the effects of the increasing density of resident space objects. Mitigation guidelines have been published by various organisations such as the Inter-Agency Space Debris Coordination Committee (IADC) and the United Nations (UN). The general aim of space debris mitigation is to reduce the growth of space debris by ensuring that space systems are designed, operated, and disposed of in a manner that prevents them from generating debris throughout their orbital lifetime. In parallel specific space programs were started to build the expertise required to manage the challenges posed by the space traffic control problem. This thesis deals with the development of new methods for the Space Surveillance and Tracking of the near-Earth environment. All the relevant aspects of the problem are addressed in this thesis: orbit propagation, orbit determination, conjunction identification, collision probability estimation, and collision avoidance manoeuvre design. The main goal is to implement innovative methods to propagate uncertainties in an efficient and accurate way, which is a major problem when dealing with a large amount of data. In this framework, differential algebraic techniques are used to perform nonlinear propagation of uncertainties on the orbital state and to speed-up computational demanding simulations, such as Monte Carlo methods. An introduction to Differential Algebra (DA) and its tools, as well as a description of the high-order DA-based propagators developed, is given in the first part of the work. In particular, the first ever high-accuracy DA-based numerical propagator is developed, using some of the most recent models for Earth gravitational field and atmosphere density. Then, the problem of orbit determination is addressed. A novel algorithm based on batch least square fit that can process measurements from a bistatic radar with a multibeaming receiver is analyzed. The algorithm is capable of estimating, with a single measurement, the whole set of six orbital parameters, with a good accuracy on the orbital position. By adding optical measurements the estimate gets closer to the reference state and the ballistic coefficient can be estimated as well. Two algorithms for the conjunction identification are proposed: the first is based on the DA-version of the analytical propagator SGP4/SDP4 and the rigorous global optimizer COSY-GO. The choice of the objective function is such that all stationary points of the relative distance between the two objects can be computed in the time window of interest with a computational time that ranges from a few to tens of seconds. The second algorithm uses the procedure for the DA expansion of the time and distance of closest approach. The advantage of this approach is that it provides the polynomial approximation of the distance of closest approach with respect to the uncertain initial states of both objects, that can be used to compute collision probabilities efficiently. The three methods for the collision probability computation exploit the availability of the DA expansion of the distance of closest approach to perform fast Monte Carlo simulations. The numerical simulations to compute the minimum relative distance for each sample of the simulation are replaced by fast polynomial evaluations. A DA-based standard Monte Carlo method and two advanced Monte Carlo techniques, Line Sampling and Subset Simulation, are used. These advanced techniques limit the number of samples required to compute sufficiently accurate estimates of the collision probability, which is usually well below 0.001. Since they are based on polynomial evaluations, the methods allow for large computational time savings. As an example when 1000 samples are required the computation time can be reduced by two orders of magnitude. Besides enabling the collision probability computation in a Monte Carlo fashion, without any assumption on relative dynamics as in the classical algorithms, the developed methods can be used with any statistics, such as uniform distribution or Gaussian mixtures. The design of collision avoidance manoeuvres is tackled as a multi-objective optimization problem, using a particle swarm optimizer. Two approaches are analyzed, the first is based on SGP4/SDP4 and the corresponding method for conjunction identification, whereas the other one uses the DA-based numerical propagator and the expansion of the distance of closest approach with respect to the execution time and the manoeuvre velocity vector. The optimization returns a set of fuel-efficient manoeuvres that can raise the miss-distance and decrease collision probability besides being compliant with mission constraints. Overall, the proposed algorithms can be combined in a comprehensive DA-based Space Surveillance and Tracking tool. The tool would be able to manage the uncertainties by considering the nonlinearities arising from orbit determination and orbit propagation and could produce accurate estimations of the collision probability to rank close conjunctions. More in general, the tool would support the management of space traffic, re-entry, and observation scheduling. In the scope of the mitigation guidelines, any improvement in handling such operations will have beneficial effects on space debris population control and the future exploitation of space.

L'era dell'esplorazione spaziale è cominciata nel 1957 con il lancio del primo oggetto fabbricato dall'uomo, il satellite sovietico Sputnik I. Da allora un numero considerevole di satelliti è stato lanciato nello spazio e molti di questi stanno ancora orbitando intorno alla Terra. La maggior parte degli oggetti in orbita è però il risultato di frammentazioni, causate principalmente da collisioni ed esplosioni. Questi eventi possono avere effetti potenzialmente catastrofici per lo spazio intorno al nostro pianeta: essi infatti incrementano il numero di oggetti presenti e, conseguentemente, la probabilità di ulteriori collisioni, rischiando di innescare un effetto domino. Questo scenario è stato chiamato sindrome di Kessler dal cognome dello scienziato che per primo analizzò questo fenomeno. Delle linee guida per limitare questo rischio sono state redatte da diverse organizzazioni come la Inter-Agency Space Debris Coordination Committee (IADC) e le Nazioni Unite. Lo scopo di queste linee guida è appunto quello di ridurre la crescita del numero di detriti spaziali, agendo sul modo in cui i satelliti sono progettati, utilizzati e smaltiti, così da prevenire la generazioni di frammenti durante la loro permanenza in orbita. Parallelamente sono stati avviati dei programmi spaziali per acquisire le capacità necessarie ad affrontare tutte le problematiche che possono sorgere dalla gestione del traffico orbitale. Questa tesi tratta dello sviluppo di nuove metodologie per lo ``Space Surveillance and Tracking'' dello spazio vicino al pianeta Terra. Tutti gli aspetti principali del problema sono affrontati: propagazione orbitale, determinazione orbitale, identificazione degli incontri tra oggetti in orbita, stima della probabilità d'impatto e progetto delle manovre evasive. L'obiettivo principale è di implementare metodi innovativi per la propagazione delle incertezze in modo preciso ed efficiente, aspetti particolarmente importanti quando il numero di dati da elaborare è grande. A questo scopo l'Algebra Differenziale (DA) è utilizzata per effettuare la propagazione nonlineare delle incertezze sullo stato orbitale e per velocizzare calcoli onerosi dal punto di vista computazionale, come i metodi Monte Carlo. L'algebra differenziale e gli strumenti associati sono introdotti nella prima parte di questo lavoro, insieme a una descrizione dei propagatori ad alto ordine basati su di essa. In particolare, si è sviluppato il primo propagatore ad alta precisione basato su DA, utilizzando alcuni fra i più recenti modelli per il campo gravitazionale terrestre e per l'atmosfera. Viene poi affrontato il problema della determinazione orbitale. Sono descritti nuovi algoritmi che sfruttano metodi ai minimi quadrati ed in grado di processare misure ottenute da un radar bistatico con un ricevitore multifascio. Gli algoritmi consentono di stimare, da un singolo passaggio, tutti i sei parametri orbitali con una buona accuratezza per quanto riguarda la posizione dell'oggetto. Introducendo misure addizionali da sistemi ottici, è possibile migliorare la stima dello stato e determinare anche il coefficiente balistico. Due algoritmi per l'identificazione degli incontri orbitali sono successivamente introdotti: il primo si basa su una versione DA del propagatore analitico SGP4/SDP4 e sull'ottimizzatore globale COSY-GO. La scelta della funzione obiettivo è tale da garantire l'individuazione di tutti i punti stazionari della distanza fra due oggetti, con un tempo di calcolo che non supera alcune decine di secondi. Il secondo algoritmo utilizza la procedura per l'espansione DA del tempo e della distanza minima dell'incontro. Il vantaggio di quest'ultimo approccio è che esso fornisce l'approssimazione in serie di Taylor della minima distanza in funzione delle incertezze sullo stato dei due oggetti coinvolti. Questa può essere usata per calcolare efficientemente la probabilità d'impatto. Tale espansione è stata in seguito sfruttata per sviluppare tre metodi per il calcolo della probabilità di collisione, mediante simulazioni Monte Carlo. Le propagazioni numeriche richieste per ogni campione sono state rimpiazzate da valutazioni di polinomi, molto meno onerose, riducendo così il costo computazionale. Il primo metodo utilizza un Monte Carlo classico mentre i restanti due le tecniche del Line Sampling e dell Subset Simulation. Queste consentono di ridurre il numero di campioni richiesti per ottenere stime sufficientemente accurate della probabilità di collisione, che è normalmente molto inferiore a 0.001. Essendo basati su valutazioni di polinomi, questi metodi consentono di diminuire considerevolmente il tempo di calcolo. Ad esempio, nel caso in cui siano richiesti 1000 campioni, il tempo richiesto può essere di due ordini di grandezza inferiore. Questi metodi, oltre a consentire il calcolo della probabilità senza semplificazioni della dinamica relativa, possono essere utilizzati con ogni tipo di distribuzione iniziale, come quella uniforme o una combinazione di Gaussiane. Il progetto delle manovre evasive è affrontato come una ottimizzazione multi-obiettivo, utilizzando un ``particle swarm optimizer''. Sono stati sviluppati due algoritmi: il primo utilizza SGP4/SDP4 e il corrispondente metodo per l'identificazione degli incontri. Il secondo si basa invece sul propagatore numerico DA e sull'espansione della minima distanza dell'incontro in funzione del tempo del vettore velocità di manovra. L'ottimizzazione restituisce un insieme di manovre che minimizzano il consumo di propellente e che contemporaneamente incrementano la distanza minima, riducono la probabilità d'impatto e rispettano i vincoli di missione. Nel complesso, gli algoritmi proposti possono essere combinati in uno strumento completo per Space Surveillance and Tracking basato sull'algebra differenziale. Tale strumento sarebbe in grado di gestire le incertezze considerando le nonlinearità che sorgono dalla determinazione orbitale e dalla propagazione, producendo stime accurate della probabilità d'impatto per classificare gli incontri orbitali in funzione della loro pericolosità. Più in generale, questo strumento potrebbe supportare la gestione del traffico orbitale, del rientro e la programmazione delle future campagne osservative. I possibili miglioramenti nella gestione di tali operazioni potranno avere effetti benefici sul controllo della popolazione di detriti spaziali e garantire anche in futuro l'utilizzo dello spazio, come indicato dalle linee guida per la mitigazione dei detriti spaziali.