A calibration method for HJM models based on the Levenberg-Marquardt optimization algorithm

This work presents a particular approach to the calibration procedure for Heath- Jarrow-Morton models. Are analyzed precisely payer swap options for which have been computed prices through Monte Carlo simulations of the HJM dynamics. Results are compared with prices obtained using a Black like formula focusing on qualitative aspects due to the characteristic of the framework. The main problem has been to specify the volatility structure for practical purpose. So that has been taken under consideration the Hull-White model to provide it. This leads to the creative and interesting part of the work, which is the calibration procedure of the parameters of the model. For this aim, using Matlab is originally implemented the Levenberg-Marquardt optimization algorithm which minimize iteratively the sum of the square of the difference between Black and HW prices, paying particular attention to the behavior of the Hull-White model. The variables considered are precise and the parameters encountered respect the usual range of values present in the literature, confirming the goodness of the approach. The first three chapters consist in a theoretical part necessary for a better comprehension of the following development. Are presented the basis of the interest rate theory, then the Heath-Jarrow-Morton framework and its characteristic, and thirdly a description of interest rate derivatives. In chapter four is calculated the volatility structure for HJM through a calibration process of HW parameters involving the implementation of the Levenberg-Marquardt algorithm. The fifth chapter deals with the pricing of a payer swap option within the HJM dynamics involving Monte Carlo simulation. Finally are presented possible developments and conclusions, while in the appendices is exposed the Matlab code.

Questo lavoro nasce dalla volontà di investigare riguardo a modelli su tassi di interesse e come questi possano essere combinati per ottenere prezzi di derivati adeguati, che rappresenta uno dei principali scopi di un ingegnere finanziario. In particolare viene presa in considerazione la dinamica di Heath-Jarrow-Morton per prezzare payer swaptions, con la quale si ottengono, attraverso simulazioni Monte Carlo, risultati solamente qualitativi a causa delle caratteristiche del framework; è infatti nota una sua certa tendenza a sovraestimare. HJM deve la sua importanza al fatto che teoricamente qualsiasi modello di tassi di interesse può essere derivato a partire da esso. D'altro canto la difficoltà nell'ottenere una funzione di volatilità adatta conduce spesso a calcoli onerosi. Per l'obiettivo appena presentato è quindi necessario fornire una matrice di volatilità, la cui de finizione rappresenta il problema principale nel caso pratico. Questo conduce all'anima di questo studio, che può essere identificata con il processo di calibrazione dei parametri del modello di Hull-White extended Vasicek, a partire dai quali si possono ricavare le volatilità necessarie in maniera abbastanza semplice per via del fatto che il modello possiede struttura affine. Per ottenere i giusti parametri si utilizza l'algoritmo di ottimizzazione di Levenberg- Marquardt appositamente adattato alla situazione in questione. Questo risulta essere uno strumento potente in grado di raggiungere rapidamente soluzioni ottimali, precise e che rispettano i canoni incontrati in letteratura. La sua implementazione consiste in minimizzare iterativamente la somma dei quadrati delle differenze dei prezzi ottentuti attraverso una formula di tipo Black e tramite il modello di Hull-White. I primi tre capitoli sono dedicati a una presentazione della parte teorica del lavoro, necessaria per meglio comprendere il seguito. Nel primo vengono introdotte le basi della teoria sui tassi di interesse, vengono fornite definizioni e formule dei principali strumenti, viene dato qualche accenno sulla teoria di non arbitraggio e sui modelli unifattoriali per i tassi di interesse. Nel secondo capitolo si analizza accuratamente HJM, proposto da Heath, Jarrow e Morton per far fronte alle inadempienze dei modelli preesistenti. Essi derivarono il framework libero da arbitraggio per l'evoluzione stocastica dell'intera curva dei rendimenti, dove la dinamica dei tassi forward è interamente specificata attraverso la struttura di volatilità istantanea, la quale presenta delle dificoltà nella sua definizione. Sono esposti quindi vantagi e svantaggi, e la relazione con alcuni modelli unifattoriali. A partire da HJM infatti teoricamente qualsiasi modello su tassi di interesse può essere ricavato. Nel terzo capitolo vengono presentati i derivati, strumenti finanziari che hanno aquisito grande importanza e popolarità negli ultimi anni. In particolare sono presi in questione derivati su tassi di interesse, a partire dagli swaps, passando per caps e floors, per giungere agli swaptions. Nel quarto capitolo si tratta il procedimento per ottenere la matrice di volatilità cercata. Per questo ci sono diverse possibilità, tra cui si è scelto il modello già esistente di Hull-White che fornisce una formula esplicita dovuta al fatto che possiede struttura affine. Altri modelli, come i multifattoriali, possono adattarsi meglio ai dati e essere più performanti ma conducono spesso a calcoli eccessivamente complicati. Per quanto trattato in questo lavoro si è ritenuto sufficiente il modello considerato, che è semplice ma efficace. Viene presentata la sua dinamica e vengono esposti i dati di mercato utilizzati per l'analisi. Si procede quindi alla calibrazione dei parametri attraverso l'implementazione in Matlab dell'algoritmo di ottimizazzione di Levenberg-Marquardt adattandolo al caso corrente e ponendo particolare attenzione alle caratteristiche di Hull-White, i cui prezzi vengono messi a confronto con quelli ottenuti tramite una formula di tipo Black. Nel quinto capitolo si prezzano payer swaption per diverse maturities e tenors a partire dalla dinamica di Heath-Jarrow-Morton, per la quale viene realizzata un'analisi specifica che mostra come i valori tendano a risultare sovraestimati. Per effettuare le simulazioni necessarie si utilizza il metodo di Monte Carlo in quanto non è possibile ottenere una forma esplicita e, per una convergenza più rapida, si ricorre alla tecnica delle variabili antitetiche. L'argomento trattato permette alcune modifiche che vengono commentate nelle conclusioni, dove sono presentate diverse osservazioni e le varie possibilità di sviluppo del lavoro. In quanto ai codici implementati sono riassunti negli appendici.