Analysis and control of efficient bipedal walking gait

This Thesis was developed in Japan during my stage at JAIST (Japan Advanced Institute of Science and Technology). The purpose of the thesis was to analyse and develop an efficient walking movement for the walking humanoids robots proceeding down-hill. The main feature of such robots is the so-called hibrid dynamics i.e. the congiunction between continuous dynamics equations of the links of the robots during the singlesupport phase and impulsive dynamic equations in correspondence of the strikes that happen during the gait. The specific goals of this thesis are as follows. - Develop a systematic way to construct an optimization algorithm in order to find the most natural trend of coordinates for the walking robots treated in this thesis. - Investigate the presence of the passive dynamic walking and verify the optimization results trough simulation. - Investigate the optimal movement of bipedal mechanisms with knees in order to testify their natural walking and applying a control law in order to simulate the walking down-hill, designing an energy efficient controller. The search for the most efficient walking behavior has been faced combining the hybrid dynamics with an optimization algorithm that allows to determine the time histories of the free coordinates that minimize a specific cost function related to the torques of the actuators. The optimization algorithm is adaptable to the three different humonoids robots considered in this thesis: the Compass model, the Dribbel model and the Knee model, and has shown that the best humanoid robot for walking down-hill is the Compass one, that is able to walk down-hill without the necessity of actuations i.e. the so-called passive dynamic walking. Only considering the kneed models, Dribbel is the best for an efficient down-hill walking and for this model it was introduced and an easy control law to let the system walk. In fact, for the chosen characteristics of the model, no passive dynamic walking was found, and so, it requires a control law in order to not falling down. The control law was a trajectories tracking control law that uses like reference, the optimal trajectories coordinates defined with the optimization algorithm. In the end, was tested the stability of the walking perturbing the velocities of the free coordinates and observing its basin of attraction. The results showed that the designed control law is really robust because the basin of attraction are really large specially along some specific coordinates.

In questa tesi si affronta il tema della camminata bipede in generale e nel suo specifico, in riferimento ad alcuni dei pi`u comuni (e semplici) sistemi camminatori di cui `e semplice descirverne la dinamica nel piano. I sistemi camminatori considerati nel seguito della trattazione, sono: Il sistema a 2 g.d.l. chiamato Compass, quello a 3 d.o.f. chiamato Dribbel, ed infine, un sistema a 4 d.o.f. chiamato Knee. Il modello Compass `e il modello camminatore bipede planare pi`u semplice che si possa pensare. `E composto da due lik (che fungono da gambe) rigidi, uniti in corrispondenza del punto di hip dal quale si diparte il busto. La massa dei due link viene concentrate nei punti di ”hip” e a mezza lunghezza delle due gambe. Il sistema pu`o prevedere una camminata passiva in presenza di un suolo in discesa, e con una particolare distribuzione dei parametri fisici. Il modello meccanico Dribbel prevede 4 link, e quindi le ginocchia, e si impone che la gamba di sostegno resti diritta, e che la gamba sollevata possa flettersi fino al momento in cui avviene la prima completa estensione (”strike” al ginocchio). Da questo momento in poi, fino alla fine del passo, il modello della camminata prevede che, attraverso il meccanismo di blocco del ginocchio, la gamba rimanga diritta e faccia s´i che il sistema evolva fino alla fine come il sistema Compass descritto il precedenza. Il modello Knee, prevede anch’esso 4 link ma non prevede il blocco della gamba di sostegno per tutta la durata del passo, n´e il blocco del ginocchio al primo strike. Tutti e tre i modelli presentano la medesima descrizione dell’impatto al suolo, oltre alla definizione delle coordinate ottime visto come problema di minimizzazione di una data funzione obiettivo, e al controllo del sistema di tipo inseguimento di traiettoria. Il modello di contatto `e stato implementato considerando le superfici a contatto idealmente rigide. Si `e inoltre suppesto che la condizione di entrambe le gambe a terra sia istantanea. Questa permette di definire due fasi della camminata ben distinte. La prima, descritta dalla dinamica continua, durante la fase di oscillazione della gamba che inizia con lo stacco da terra di quest’ultima a seguito dello strike al suolo del passo precedente; la seconda, descritta dalla dinamica impulsiva, quando il sistema bipede impatta con il suolo. Con lo stesso criterio sono stati modellati gli strike che avvengono in corrispondenza delle ginocchia. Altro minimo comune denominatore `e la definizione delle coordinate ottime per un sistema bipede che percorre un tratto in discesa di pendenza 3◦. In questa tesi, infatti, si `e cercato il movimento del sistema pi`u efficente in termini di energia spesa per attuare i giunti del meccanismo attraverso degli attuatori considerati comunque ideali e nondissipativi. I sistemi sono considerati totalmente attuati con attuazione co-locata. Il caso limite del movimento efficiente di un sistema camminatore bipede `e il caso in cui il sistema evolva nel tempo senza bisogno di attuazione. Questo `e il caso dei sistemi con dinamica passiva per i quali la perdita di energia meccanica associata alla dinamica impulsiva del sistema (strike al ginocchio o al suolo) `e completamente sopperita dal contributo di energia potenziale dovuto al dislivello tra inizio e fine passo. `E stato dimostrato che la dinamica passiva esiste per alcuni sistemi bipedi ed in partiolare per il modello Compass analizzato in questa tesi. Ovviamente il comportamento passivo del sistema dipende anche dalla sua distribuzione di massa e dalla pendenza del suolo. Oltre a questi parametri fisici, il comportamento passivo si manifesta solamente con determinate condizioni iniziali (stato iniziale del sistema). Il movimento passivo del sistema Compass `e stato indagato tramite l’algoritmo di ottimizzazione spiegato in seguito. Il compotamento passivo `e stato verificato con una simulazione del modello meccanico partendo da condizioni iniziali ottime. In aggiunta si `e indagata la postura ottima che permetterebbe al modello Compass di minimizzare la perdita di energia cinetica all’impatto con il suolo. Per far questo si `e analizzata la perdita di energia cinetica all’impatto con un’analisi ai valori singolari definendo delle direzioni di massima e minima perdita di energia al variare dello stato assunto all’istante precedente l’impatto. In seguito si sono analizzati i modelli provvisti di ginocchia e si `e cercato il loro movimento ottimo in riferimento ai parametri della camminata in analisi. La ricerca del movimento ottimo dei sistemi viene affrontata come un problema di minimizzazione di una certa funzione obiettivo che tiene conto della richiesta di coppia da parte degli attuatori co-locati rispetto alle coordinate libere. L’algoritmo di minimizzazione ottimizza la funzione obiettivo (OF) ottenuta mediante la risoluzione della dinamica diretta del sistema attraverso la definizione delle coordinate libere (e velocit`a e accelerazioni) come funzioni polinomiali del tempo. In questo modo, i parametri da ottimizzare sono i coefficienti dei polinomi che definiscono le coordinate libere, oltre ai valori degli istanti temporali in cui avvengono gli strike che sono previsti nel modello del passo. Il passo infatti `e caratterizzato dal numero (e tipo) di strike, nonch´e dal loro ordine temporale di accadimento. Il movimento ottimo per il tipo di camminata analizzata (camminata in discesa con pendenza 3◦), `e risultato essere quello del modello Dribbel in presenza di due strike, il primo in corrispondenza del ginocchio della gamba che oscilla, e il seecondo al suolo a fine del passo. Il risultato dell’ottimizzazione `e il movimento ottimo in termini di energia richiesta agli attuatori. In seguito si `e proceduto all’analisi della stabilit`a in grande della camminata mediante simulazione numerica attribuendo come riferimento del controllo degli attuatori, le curve ottime definite in fase di ottimizzazione. L’inseguimento delle curve ottime `e stato realizzato mediante un semplice controllore PD (proporzionale e derivativo). I coefficienti proporzionale e derivativo del controllo sono stati scelti in modo da minimizzare in lavoro compiuto dagli attuatori. La determinazione e taratura dei parametri `e stata effettuata considerando il sistema che evolve partendo dallo stato iniziale ottimo definito dalla routine di ottimizzazione implementata precedentemente. I parametri trovati sono dunque i parametri ottimi che permettono al sistema di inseguire il suo riferimento minimizzando il lavoro richiesto dagli attuatori. Con la legge di controllo appena definita, si analizza la stabilit`a del sistema in grande andando a simulare la camminata perturbandone lo stato iniziale nell’intorno dello stato iniziale ottimo. Le basi di attrazione definite per l’analisi di stabilit`a mostrano come il sistema controllato sia molto robusto riuscendo a gestire perturbazioni anche di entit`a rilevante. Va detto che in questa fase, non sono state implementate le saturazioni che caratterizzano gli attuatori reali.