Variational methods for viscous ergodic mean field games

In this thesis work we present an existence result for Viscous Ergodic Mean Field Games using Variational Methods. Mean Field Games theory was developed in recent years to study differential games in- volving a large number of rational agents, each controlling their path according to some common strategy which is affected by the state of other agents. As the number of agents goes to infinity, the evolution of the system is described by a Nash equilibrium of a game with a continuum of players. This results into a coupled system of PDEs, a Hamilton-Jacobi equation for the value function u and a Fokker-Planck equation for the agents’ density m. In this thesis work we focus on Variational Mean Field Games, a specific class of Mean Field Games that admits a variational structure. This structure allows to find solutions of the system as critical points of an energy under a constraint, relying on techniques of convex analysis, properties of the Legendre-Fenchel transform and the Gagliardo-Nirenberg Inequality. In particular, we study Ergodic Mean Field Games, which are stationary systems that arise when considering the long time behavior of a Mean Field Game. Moreover, we consider the viscous case, in which a regularizing laplacian term is present. In this thesis work, we extend an existence result for these systems to the case of stronger nonlinearities in the coupling term f in the Hamilton-Jacobi equation. In order to find a global minimum for the energy, f needs to have polynomial growth under a certain "mass critical" exponent. We prove that, with smallness assumptions on the coefficients of f, it is possible to find local minima for the energy considering nonlinearities up to the "Sobolev critical" exponent included. We exploit some similarities between the variational structure of the problem and the one of Schrödinger equations, which were previously analyzed. Moreover, when the growth exponent of f matches exactly the "Sobolev critical" exponent, additional difficulties arise due to the critical scaling of the system. However, with additional smallness assumptions, we can use finer regularity results for the Hamilton-Jacobi and Fokker-Planck equations to deduce again the existence of a solution.

In questo lavoro di tesi presentiamo un risultato di esistenza per Giochi a Campo Medio Ergodici Viscosi tramite Metodi Variazionali. La teoria dei Giochi a Campo Medio è stata sviluppata negli ultimi anni per studiare giochi differenziali con un grande numero di agenti, ognuno dei quali controlla la propria dinamica attraverso una strategia comune influenzata dalla posizione degli altri agenti. Quando il numero di agenti tende all’infinito, l’evoluzione del sistema è descritta da un equilibrio di Nash per un gioco con un’infinità continua di giocatori. Questo si traduce in un sistema accoppiato di EDP, una equazione di Hamilton-Jacobi per la funzione valore u e una equazione di Fokker-Planck per la densità degli agenti m. In questo lavoro di tesi ci concentriamo sui Giochi a Campo Medio Variazionali, una classe specifica di Giochi a Campo Medio che ammette una struttura variazionale. Questa struttura permette di trovare soluzioni del sistema come punti critici di un’energia soggetta ad un vincolo, attraverso tecniche di analisi convessa, proprietà della trasformata di Legendre-Fenchel e la diseguaglianza di Gagliardo-Nirenberg. In particolare, studiamo i Giochi a Campo Medio Ergodici, che sono sistemi stazionari che si presentano nello studio del comportamento per tempi lunghi di un Gioco a Campo Medio. Inoltre, consideriamo il caso viscoso, in cui è presente un termine regolarizzante dato dal Laplaciano. In questo lavoro di tesi, estendiamo un risultato di esistenza per questi sistemi ad un caso di non linearità più forte per il termine di accoppiamento f nell’equazione di Hamilton- Jacobi. Per trovare un minimo globale per l'energia, f deve avere crescita polinomiale al di sotto di uno specifico "esponente critico di massa". Noi dimostriamo che, con assunzioni di piccolezza per i coefficienti di f, è possibile trovare dei minimi locali per l'energia nei casi di non linearità fino allo "esponente di Sobolev critico" incluso. Sfruttiamo alcune similarità tra la struttura variazionale del problema e quella delle equazioni di Schrödinger, che sono state precedentemente analizzate. Inoltre, nel caso in cui l’esponente di crescita di f coincida esattamente con l'esponente "Sobolev critico", si presentano ulteriori difficoltà dovute allo scaling critico del sistema. Tuttavia, con ulteriori assunzioni di piccolezza, è possibile utilizzare alcune stime di regolarità più raffinate per le equazioni di Hamilton-Jacobi e Fokker-Planck per dedurre ugualmente l’esistenza di una soluzione.