PC-Gau : PCA basis of scattered gaussians for shape matching via functional maps

Shape matching, i.e. finding correspondences between pairs of shapes, is a key problem in geometry processing, with a wide range of applications, from texture transfer to statistical shape analysis. The functional map approach frames the problem as a correspondence between functional spaces defined on the shapes. Such correspondence admits a compact matricial representation, once a functional basis is defined on each mesh. For many applications, however, dense point-wise maps are required and lots of methods have been proposed to obtain accurate point-wise maps using functional maps. The majority of such methods employed the eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator as the functional basis. We found that a major limitation of the LB basis, though, is that its energy is not evenly distributed on the mesh surface, providing vertices in different areas of the mesh with an inconsistent quality of representation. Our analysis shows that this uneven distribution is a source of errors in the maps obtained. We propose, thus, a new functional basis whose energy is evenly distributed on the whole mesh. We build our basis by applying PCA to a dictionary of Gaussian functions scattered on the mesh surface. The rationale behind is to obtain a uniform representation power, by enforcing the uniform distribution of the initial dictionary. This procedure builds, by construction, an orthonormal basis that is compatible with existing functional map pipelines designed for the standard basis. Through experimental evaluation on established datasets, we show that our basis produces significantly more accurate point-wise maps --- compared to the standard basis --- when employed in the same shape-matching pipeline. Moreover, the benefits coming from advanced pipelines add up to the benefits given by the adoption of our basis, making our approach complementary to other improvements proposed to the functional map framework. Finally, we devise some metrics to assess the quality of vertex representation provided by our basis. Aside from evaluation, these metrics can be used to perform an accurate choice of the construction parameters, introducing adaptivity in our method.

L'allineamento di forme 3D, cioè il problema di stabilire corrispondenze tra di esse, è un problema chiave nell'ambito delle elaborazioni geometriche, con un'ampia gamma di applicazioni, dal trasferimento di texture all'analisi delle forme stesse. L'approccio delle mappe funzionali formula il problema come una corrispondenza tra spazi funzionali definiti sulle mesh. Questa corrispondenza ammette una rappresentazione matriciale compatta, una volta che è stata definita una base funzionale su ogni forma. Molte applicazioni, però, richiedono mappe punto-a-punto. Sono, dunque, stati proposti molti metodi per ottenere mappe puntuali accurate, usando le mappe funzionali. La maggior parte di questi metodi adotta le autofunzioni dell'operatore di Laplace-Beltrami come mappa funzionale. Riteniamo, però, la base LB possiede il grande limite di avere un'energia che non è distribuita uniformemente sulla superficie della mesh, fornendo un'inconsistente qualità di rappresentazione ai vertici in diverse aree della mesh. La nostra analisi evidenzia che questa distribuzione disuniforme è fonte di errori nelle mappe ottenute. Noi proponiamo, quindi, una nuova base funzionale, la cui energia è distribuita uniformemente su tutta la mesh. La nostra base è costruita applicando PCA a un dizionario di Gaussiane sparse sulla superficie della mesh. L'idea alla base, è quella di ottenere un potere di rappresentazione uniforme, imponendo un'uniforme distribuzione del dizionario iniziale. Da questa procedura si ottiene, per costruzione, una base ortonormale compatibile con gli attuali metodi di allineamento, pensati per la base standard LB. Attraverso la valutazione sperimentale su dataset riconosciuti, mostriamo che la nostra base produce mappe puntuali significativamente più accurate rispetto a LB, a parità di metodo di allineamento impiegato. Inoltre, i benefici provenienti dall'uso di pipeline più avanzate si somma ai benefici derivanti dall'impiego della nostra base, rendendo il nostro approccio complementare ad altre migliorie proposte per il framework delle mappe funzionali. Infine, proponiamo alcune metriche per verificare la qualità di rappresentazione dei vertici fornita dalla nostra base. Oltre che alla sua valutazione, queste metriche possono anche essere impiegate per operare una buona scelta dei parametri di costruzione, introducendo adattività nel nostro metodo.