A Fourier series based semi analytical model for 3D low thrust collision avoidance

The number of artificial satellites is growing continuously year after year. This, coupled with the well known problem of space debris, leads to possible hazardous impacts between active satellites and resident orbiting objects. For this reason, collision avoidance manoeuvres are planned to mitigate the risk. This is just the frame where this thesis is inscribed. The increasing number of close approaches and objects makes the risk analysis more complex and operator time-demanding, thus the need of computationally efficient models for preliminary analysis. The aim of this work is to develop a semi-analytical mathematical model for the 3D low thrust collision avoidance problem capable of describing the change of orbital elements driven by a generic thrust action whose components are in all three directions. Starting from Gauss Planetary Equations in absence of any environmental perturbation, we first moved from the time-derivative formulation to a true anomaly-derivative one. Then, assuming a small variation of the Keplerian parameters after the application of the thrust action, we performed a Taylor expansion in the neighbourhood of the reference condition. From this point on, we developed two different methods. The first, denoted as "full model", consists of a direct integration of the system obtained after the expansion. On the contrary, the second, denoted as "small thrust model", has in addition a MacLaurin expansion of the previous equations with the aim of making explicit the dependence from the small thrust parameters. In both cases the integrations are performed by means of the Fourier Series tool. It allows, not only to carry out the integrations in an easy manner, but also to take apart the constant and oscillatory contributions of the solutions. In the case of the "small thrust model" the expressions of the Fourier Series coefficients are provided in closed form in terms of complete elliptic integrals and series expansions involving the Gauss Hypergeometric function. Finally, different simulations with various test cases are provided to assess the accuracy and the effectiveness of the method. This thesis was part of the COMPASS project: “Control for Orbit Manoeuvring through Perturbations for Application to Space Systems" (Grant agreement No 679086). This project is a European Research Council (ERC) funded project under the European Unions Horizon 2020 research.

La quantità di satelliti artificiali in orbita aumenta in maniera incessante anno dopo anno. Ciò, insieme al ben noto problema dei detriti spaziali, rende assai concreta la possibilità di impatti potenzialmente fatali fra i vari oggetti orbitanti. Per questo motivo, sono previste manovre di prevenzione delle collisioni per mitigare il rischio. Questa è la cornice in cui è inscritta questa tesi. Il numero crescente di incontri ravvicinati e oggetti orbitanti di diversa natura rende l'analisi di rischio più difficile e onerosa dal punto di vista delle tempistiche. Sorge quindi la necessità di modelli computazionalmente efficienti per una analisi preliminare. Lo scopo di questa tesi è sviluppare un modello matematico semi-analitico per il problema 3D di prevenzione delle collisioni qualora il sistema propulsivo possa fornire solo una bassa spinta. Il modello deve essere in grado di descrivere il cambiamento dei parametri orbitali qualora l'azione di spinta sia un generico vettore con componenti in tutte e tre le direzioni spaziali. Partendo dalle Equazioni Planetarie di Gauss in assenza di qualsiasi perturbazione relativa all'ambiente circostante, si è in primo luogo passati dalla formulazione con la derivata temporale di suddette equazioni a quella con la derivata rispetto all'anomalia vera. Quindi, ipotizzando una variazione non eccessiva dei parametri Kepleriani dopo l'applicazione dell'azione di spinta volta a deviare il satellite dalla traiettoria per schivare l'ostacolo, si è eseguita un'espansione di Taylor nell'intorno della condizione di riferimento. Da questo punto in poi, vengono sviluppati due diversi metodi. Il primo, indicato come "full model", consiste in una diretta integrazione del sistema ottenuto dopo l'espansione. Al contrario, il secondo, indicato come "small thrust model", ha in aggiunta un'espansione di MacLaurin delle precedenti equazioni con lo scopo di rendere esplicita la loro dipendenza dai parametri di bassa spinta. In entrambi i casi le integrazioni vengono eseguite tramite la Serie di Fourier. Essa, infatti, ci consente, non solo di eseguire le integrazioni in modo semplice, ma anche di separare i contributi costanti delle soluzioni da quelli oscillatori. Nel caso del "small thrust model" le espressioni dei coefficienti della Serie di Fourier sono fornite in forma chiusa in termini di integrali ellittici completi ed espansioni in serie che coinvolgono la funzione ipergeometrica di Gauss. Infine, vengono fornite diverse simulazioni con vari casi test per valutare l'efficacia del metodo. Questa tesi è parte del progetto COMPASS: “Control for Orbit Manoeuvring through Perturbations for Application to Space Systems" (Grant agreement No 679086). Questo progetto è finanziato dall' European Research Council (ERC) sotto la European Unions Horizon 2020 research.