Physics-informed neural networks for shallow water equations

In recent years, a class of methods that incorporate Partial Differential Equations (PDEs) into a Neural Network (NN) emerged, these methods are commonly referred to as Physics-Informed Neural Networks (PINNs). Embedding the laws of physics into the learning process of a NN allows to combine the NN's ability to extract patterns, automatically, from large volumes of data, with the theoretical knowledge accumulated in scientific theories. The purpose of this work is to investigate the possibility of using the PINNs to approximate the Shallow Water Equations (SWE), a system of hyperbolic PDEs that simulates free-surface flow problems. A wide variety of benchmark problems, selected for both steady state solutions and Riemann problems of increasing complexity, are examined. Moreover, parametric cases are considered for one-dimensional and two-dimensional transient problems, for the purpose of testing the degree to which the PINNs are a convenient tool to be used when dealing with many-query problems. The extensive PINN application showed remarkably results in terms of accuracy of the numerical solutions produced, regardless of the the presence of viscosity or shock waves. Despite the challenge of a high computational cost, this tool proved to be markedly promising when dealing with many-query problems.

Negli ultimi anni è emersa una classe di metodi che inserisce le equazioni differenziali alle derivate parziali nelle reti neurali, questi metodi sono comunemente denominati Physics-Informed Neural Networks (PINNs). Introdurre le leggi della fisica nel processo di training di una rete neurale permette di combinare la capacità delle reti neurali di estrarre modelli, automaticamente, da una grande quantità di dati, con la conoscenza teorica dei fenomeni naturali. Lo scopo di questo lavoro è analizzare la possibilità di utilizzo dei PINN per approssimare le equazioni Shallow Water, ossia, un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali iperboliche utilizzato in modelli geofluidodinamici e idraulici. Viene esaminata un'ampia varietà di problemi di riferimento, scelti con difficoltà crescente sia per problemi con soluzioni stazionarie che per problemi di Riemann. I problemi non stazionari, sia monodimensionali che bidimensionali, vengono successivamente dotati di un'aggiuntivo spazio dei parametri, con lo scopo di testare l'efficacia dei PINN verso i problemi many-query. La vasta applicazione dei PINN ha prodotto risultati di notevole precisione, senza alcuna dipendenza dalla presenza di viscosità o di onde d'urto. Nonostante la difficoltà rappresentata da un costo computazionale elevato, questo metodo si è dimostrato oltremodo promettente nell'applicazione ai problemi many-query.