Non-conforming mesh adaptivity for Hybrid High-Order methods

The Hybrid High-Order (HHO) methods are discretization methods for partial differential equations which have some advantages with respect to traditional numerical schemes, in particular they support polytopal meshes and arbitrary approximation orders. The elements of the mesh can have arbitrary shape and can coexist in the same mesh with different shapes and number of faces. A direct consequence is the possibility to discretize the physical domain through non-conforming meshes, which is particularly relevant for physical phenomena occurring in small areas of the domain. In this case is indeed possible to locally refine the mesh, without reconstructing it in the entire domain. As a result, a significant advantage in terms of computational cost is achieved. After introducing the HHO method for the Poisson problem, the goal of this work will be to present a method to perform non-conforming mesh adaptivity, exploiting a-posteriori estimators. Starting from the HArDCore library for HHO methods, developed by D. Di Pietro and J. Droniou and written in C++, new methods for a non-conforming adaptivity of the mesh have been developed, which are included in the new class DynamicMesh. First the implementation aspects will be presented, then some numerical tests with a non-conforming refined mesh will be performed.

I metodi Hybrid High-Order (HHO) sono metodi per la discretizzazione di equazioni alle differenze parziali che comportano alcuni vantaggi rispetto ai metodi numerici tradizionali, in particolare supportano mesh politopali e ordini di approssimazione arbitrari. Gli elementi della mesh possono avere forma qualsiasi e possono essere contemporaneamente presenti nella stessa griglia con forma e numero di lati differenti. Conseguenza diretta è la possibilità di discretizzare il dominio fisico tramite mesh non conformi, il che risulta particolarmente utile nel caso di fenomeni fisici concentrati in un punto o un'area ristretta del dominio, poichè diventa possibile raffinare la mesh solo localmente, senza doverla ricostruire nell'intero il dominio. Ne risulta un guadagno non indifferente a livello di costo computazionale. In questo lavoro, dopo aver introdotto il metodo HHO per il problema di Poisson, lo scopo sarà presentare un metodo per eseguire adattività della mesh non conforme, sfruttando idealmente stimatori a posteriori dell'errore. Partendo dalla libreria HArDCore per metodi HHO, realizzata da D. Di Pietro e J. Droniou in C++, sono stati sviluppati nuovi metodi - da integrare successivamente alla libreria - contenuti nella nuova classe DynamicMesh, in grado di supportare un'adattività non conforme della mesh. Verranno presentati dapprima gli aspetti implementativi della nuova classe, ed infine alcuni test numerici con mesh raffinata in maniera non conforme.