Normalized solutions for the fractional nonlinear Schrödinger equation

Starting from the seminal contribution given by JeanJean in the local context, we prove existence of ground states for a nonlinear eigenvalue system in nonlocal context, with prescribed mass solutions. Here we find the fractional Laplacian in R^N of order k in (0,1), which is the prototype of the integrodifferential operators of order 2k and is a natural nonlocal analogue of the standard Laplacian. This work handles L^2-supercritical nonlinearities and looks for critical points for the energy functional constrained to the L^2 mass sphere, relying on a version of the min-max method valid on curved geometries. As far as we know, the strategy we adopt was never explored in a nonlocal context.

A partire dal contributo fornito da JeanJean in contesto locale, dimostriamo l'esistenza di soluzioni ad energia minima per un sistema agli autovalori non lineare in contesto non locale, con soluzione a massa fissata. Qui compare il Laplaciano frazionario in R^N di ordine k in (0,1), che è il prototipo degli operatori integrodifferenziali di ordine 2k e costituisce l'estensione naturale in contesto nonlocale del Laplaciano standard. In questo lavoro si affrontano nonlinearità L^2-supercritiche e si ricercano punti critici per il funzionale energia vincolato alla sfera L^2 della massa, basandosi su una versione del metodo min-max valida su geometrie curve. Per quanto ne sappiamo, la strategia che proponiamo non è mai stata adottata in contesto non locale.