High Order Efficient Station Keeping Strategy for Low-Thrust Geostationary Satellites with Differential Algebra Techniques

To allow a Geostationary Earth Orbit (GEO) satellite to precisely and safely achieve its goals preventing collisions with other spacecrafts located on the GEO, a set of periodic and scheduled manoeuvres, known as Station Keeping (SK) strategy, is required to maintain the vehicle inside an assigned slot. Moved by stringent requirements on accuracy and by the intention to find higher performance algorithms than standard numerical methods, a novel SK program is here proposed. It foresees the resolution of a feedback optimal control problem (OCP) for a low-thrust electric propulsion system by exploiting differential algebraic techniques. Unlike widespread linear solutions, leading to an accuracy drop when dealing with nonlinear dynamics, differential algebra (DA) enables to tackle nonlinearities by an arbitrary order Taylor series expansion of the OCP about a reference. The obtained polynomials allow to represent the dependency of the spacecraft state on eventual displacements of the initial conditions from the considered baseline. The feedback OCP can be reduced to a two-point boundary value problem (TPBVP) and then fixed by a high order polynomial approximation, whose manipulation permits to enforce eventual constraints and subsequently find the optimality commands. When perturbations in the nominal status occur, new optimal control laws are derived by the mere evaluation of polynomials in the perturbed state. The SK strategy adopted in this thesis is based on a cyclic sequence made of a natural motion stage followed by a controlled section targeting a specific point inside the allowable region, tailored to maximize the free permanence within the permitted latitude-longitude bands until the next powered phase starts. A year evolution, affected by the geopotential perturbation, the Sun and Moon influence and the solar radiation pressure effects, is considered. DA is applied to compute the optimal, arbitrary order solution for each thrust arc. ewline The analysis is divided into two steps. The former consists in solving an Energy Optimal Problem (EOP) with continuous and non-saturated action. Its output can be directly achieved by considering the slot as a neighbourhood of the nominal state and by expanding the TPBVP about its centre, bypassing the need of a reference path. This also makes it possible to build up a control law evaluating, at every cycle, the same high order polynomial approximating the time independent dynamics and then correcting it with the complete linear output, so that constant perturbations and time-variant ones can be treated separately. The latter takes the result of the first one as initial guess and solves a Fuel Optimal Problem (FOP) with a bang-bang control profile, with the help of a continuation method. This application involves a numerical baseline and consequently polynomials are exploited for a robust correction to any possible deviation from it. Although a simplified problem is taken into account, its relevant findings suggest further investigations. The power of this method is demonstrated since it grants: an increased precision compared to linearized control; a low computational burden as against numerical techniques; the opportunity to build up a quick and robust controlling action from onboard DA maps; a low overall annual consumption.

Affinché un satellite geostazionario possa conseguire con precisione e in sicurezza i propri obiettivi prevenendo la collisione con altri corpi localizzati in GEO, è necessario pianificare una sequenza periodica di manovre, nota come strategia di Station Keeping (SK), che consenta di mantenere il veicolo all'interno di una regione assegnata, delimitata longitudinalmente e latitudinalmente. In questo elaborato viene presentata una nuova programmazione dello SK, al fine di soddisfare stringenti requisiti di accuratezza e ottenere un algoritmo più performante rispetto ai metodi numerici largamente impiegati. Tale approccio prevede la risoluzione di un problema di controllo ottimo (OCP) a retroazione per un sistema propulsivo elettrico a bassa spinta mediante l'applicazione di tecniche di algebra differenziale (DA). Contrariamente ai diffusi criteri linearizzati, che risultano imprecisi nei casi di dinamiche non lineari, la DA permette di far fronte alle non linearità espandendo in serie di Taylor, ad un certo ordine, la soluzione dell'OCP rispetto a un riferimento. I polinomi così ottenuti consentono di esprimere la dipendenza dello stato del satellite dalle possibili variazioni delle condizioni iniziali rispetto ai valori nominali. Riducendo l'OCP retroattivo a un TPBVP, la soluzione è approssimabile con un polinomio di grado arbitrario, la cui manipolazione permette di fissare eventuali vincoli ed ottenere successivamente i comandi ottimali. Grazie alla semplice valutazione della suddetta mappa polinomiale, eventuali disturbi agenti sullo stato di riferimento sono contrastati e corretti variando la legge di controllo ottimo. La strategia di SK adottata nel presente progetto si basa su una sequenza ciclica composta da una fase di moto naturale, affetto dalla perturbazione del campo gravitazionale, dall'influenza del Sole e della Luna e dagli effetti della pressione di radiazione solare, seguita da un periodo di spinta. L'obiettivo di quest'ultimo consiste nell’allineamento del satellite ad un punto target, scelto in modo da massimizzare lo stazionamento incontrollato nella regione permessa. L'analisi si estende su un arco temporale annuale e la DA viene applicata per calcolare la soluzione ottima a differenti ordini di espansione per ogni stadio di controllo. Lo studio si articola in due argomenti principali. Il primo risolve un EOP, caratterizzato da un'azione continua e non saturata. Il comando di SK, in questo caso, è ottenibile considerando lo slot ammissibile come un intorno dello stato nominale ed espandendo il TPBVP rispetto al suo centro, evitando così il calcolo di una traiettoria di riferimento. Risulta in tal modo possibile generare una legge di controllo valutando, ad ogni ciclo, il medesimo polinomio che approssima la dinamica indipendente dal tempo, correggendola con la soluzione lineare del moto completo e separando quindi i contributi delle perturbazioni costanti da quelle tempo-varianti. Il secondo, ricorrendo all’utilizzo della soluzione ottenuta precedentemente come condizione iniziale, risolve un FOP con un profilo di spinta bang-bang tramite un metodo di continuazione. Poiché tale applicazione richiede un riferimento numerico, i polinomi sono utilizzati per una correzione robusta ad ogni possibile deviazione rispetto ad esso. Nonostante si tratti di un problema semplificato, i rilevanti risultati ottenuti sono tali da giustificarne un’ulteriore e più approfondita analisi. Sono evidenti, infatti, le potenzialità di questo approccio in quanto esso garantisce: una maggior precisione rispetto al controllo lineare; un costo computazionale inferiore comparato a quello richiesto dai metodi numerici; la possibilità di ottenere un’azione di controllo rapida e robusta mediante la valutazione di mappe polinomiali disponibili direttamente a bordo; un modesto consumo annuale complessivo.