Application of hybrid differential dynamic programming in orbital elements for low thrust trajectory optimisation

In the field of orbital mechanics, from its earliest beginnings, the optimisation of trajectories has always been a key step in deciding the feasibility of a space mission and its development. In recent years, modern technological advances have led to the introduction of electric thrusters, which give rise to new scenarios and mission possibilities that were hitherto completely precluded. In fact, they provide considerable benefits in terms of consumption compared to classical chemical thrusters, at the price of much more limited thrust capacities and, consequently, significantly longer transfer times. For these reasons, there is currently a strong push in the direction of using such engines in a large variety of situations, such as interplanetary travel, planetary orbital transfers, manoeuvring satellites belonging to constellations, low-thrust deorbiting strategies and even innovative concepts such as formation flying and in-orbit servicing. The field of numerical optimisation was also influenced by this innovation and had to adapt to keep up. Indeed, the impulsive manoeuvre approximation typically used for chemical thrusters loses its validity in this case, due to the considerably longer burn time associated with modern electric thrusters. At this point the problem addressed, in order to produce plausible results, requires a continuous-thrust model, which assumes a large number of decision variables. Therefore, the transfer trajectories are now obtained as a solutions of a large scale highly nonlinear optimal control problem. Several optimization methods have been developed to solve the latter, typically divided into two macro-families: direct methods and indirect methods. Of these, differential dynamic programming (DDP) assumes particular importance, because it presents the advantages of methods from both families (accuracy on the one hand, robustness on the other) and a low increase in computational cost as the number of decision instants increases. It, therefore, turns out to be a powerful optimization tool, which is particularly suitable for solving problems of large dimensions just as it is in the case of low-thrust trajectories. Despite its potential, until now this approach has been used in a fairly limited manner. Most of the studies that dealt with it for celestial mechanics problems in any case exploited the use of classical Cartesian coordinates as state variables. In this thesis we adapt the latest well-validated version of this optimisation method, called Hybrid Differential Dynamic Programming (HDDP), to a new set of variables often used in celestial mechanics, namely the orbital elements. This set reformulates the problem in terms of size, shape and orientation in the space of the orbit in which it lies, and has numerical advantages. In fact, their evolution in time during a generic transfer is known to be more regular and smooth than the oscillatory behaviour of the previous Cartesian coordinates. Thanks to this characteristic, it is expected that the method is facilitated in the optimisation and it converges faster to the solution. Furthermore, for some specific low-thrust applications that are particularly sensitive to the oscillation of the state variables and the variation of the control law, as it is the case of multi-revolution transfers in a planetary environment, the use of such variables is expected not only to improve the performance of the algorithm in terms of convergence speed, but also to extend its applicability to a number of revolutions previously impossible to handle. In conclusion, this thesis work aims to assess the veracity of the aforementioned hypothesis by applying the optimisation method with the new set of variables to various practically relevant situations in the context of low-thrust trajectory design, through interplanetary and planetary transfers, in single and multi-revolution cases.

Nell'ambito della Meccanica Orbitale, fin dalle sue origini, l'ottimizzazione di traiettorie è sempre stata un passo fondamentale per decretare la fattibilità di una missione spaziale e il suo successivo sviluppo. Negli ultimi anni, i recenti progressi tecnologici hanno portato all'introduzione dei propulsori elettrici, i quali danno vita a nuovi scenari e possibilità di missione finora del tutto precluse. Infatti, essi offrono notevoli vantaggi in termini di consumo rispetto ai classici propulsori chimici, al prezzo di livelli di spinta molto più limitati e, di conseguenza, di tempi di trasferimento significativamente più lunghi. Per questi motivi, attualmente c'è una forte spinta del settore per estendere l'utilizzo di tali motori ad una grande varietà di situazioni, come i viaggi interplanetari, i trasferimenti orbitali planetari, le manovre di satelliti appartenenti a costellazioni, strategie di deorbiting a bassa spinta e persino concetti innovativi come formation flying e in-orbit servicing. Anche il campo dell'ottimizzazione numerica è stato influenzato da questa innovazione e si è dovuto adattare per tenere il passo. Infatti, l'approssimazione di manovra impulsiva tipicamente utilizzata per i propulsori chimici perde la sua validità in questo caso, a causa del tempo caratteristico considerevolmente più lungo associato ai moderni propulsori elettrici. A questo punto il problema affrontato, per produrre risultati plausibili, richiede un modello a spinta continua, che presuppone un elevato numero di variabili decisionali. Pertanto, le traiettorie di trasferimento a questo punto sono ottenute come soluzioni di un problema di controllo ottimo altamente non lineare di grande dimensione. Per risolvere quest'ultimo sono stati sviluppati diversi metodi di ottimizzazione, tipicamente divisi in due macro-famiglie: metodi diretti e metodi indiretti. Tra questi, la programmazione dinamica differenziale (DDP) assume particolare importanza, in quanto presenta i vantaggi dei metodi di entrambe le famiglie (accuratezza da un lato, robustezza dall'altro) e un basso incremento del costo computazionale all'aumentare del numero di istanti di decisione. Si rivela quindi un potente strumento di ottimizzazione, particolarmente adatto alla risoluzione di problemi di grandi dimensioni proprio come avviene nel caso delle traiettorie a bassa spinta. Nonostante il suo potenziale, finora questo approccio è stato utilizzato in modo piuttosto limitato. La maggior parte degli studi che lo vedono coinvolto per la trattazione di problemi di meccanica celeste ha in ogni caso adottato le classiche coordinate cartesiane come variabili di stato. In questa tesi si punta ad adattare la versione più recente e ben validata di questo metodo di ottimizzazione, chiamato Programmazione Dinamica Differenziale Ibrida (HDDP), ad un nuovo set di variabili spesso utilizzate in meccanica celeste, ovvero i cosiddetti elementi orbitali. Questo set riformula il problema in termini di dimensione, forma e orientamento nello spazio dell'orbita in cui si trova, e presenta diversi vantaggi numerici. Infatti, è ben noto che l'evoluzione nel tempo di tali elementi durante un generico trasferimento è più regolare e più stabile del comportamento oscillatorio delle precedenti coordinate cartesiane. Grazie a questa caratteristica, ci si aspetta che il metodo sia facilitato nell'ottimizzazione e che converga più velocemente alla soluzione. Inoltre, per alcune applicazioni specifiche a bassa spinta che risultano particolarmente sensibili all'oscillazione delle variabili di stato e alla variazione della legge di controllo, come nel caso dei trasferimenti multirivoluzione in ambiente planetario, si ipotizza che l'uso di tali variabili non solo migliori le prestazioni dell'algoritmo in termini di velocità di convergenza, ma che consenta anche di estendere la sua applicabilità a un numero di rivoluzioni finora impossibile da gestire. In conclusione, il presente lavoro di tesi si pone come obiettivo quello di valutare la veridicità delle ipotesi sopracitate applicando il metodo di ottimizzazione con il nuovo set di variabili a diverse situazioni di interesse pratico nel contesto della progettazione di traiettorie a bassa spinta, attraverso trasferimenti sia interplanetari che planetari, in entrambi i casi di rivoluzione singola e multipla.