Jump-diffusion processes application in finance

When we talk about applications of Mathematics in finance, a reasonable question is "Do the results fit with the market being?". This question can be answered in many ways, but the first point is, if you are looking for a model that predicts the price of a stock, a tax, or something in a such way, maybe Mathematical Finance will disappoint you. In another way, if you are looking for the most honest price for that underlying, i.e. one more information to ground you in order to take an attitude, the Mathematical Finance can start to be useful. In this work we try to evaluate this link between the real world, i.e. an European Call from a well known company immersed into the Brazilian market, and four models that evaluates this European Call. Using the historical data of this asset, observed for four years, we replicate and compare these four asset pricing models to the real price from the market. The aim of this work is to explore the pricing of an European Call in a Jump model, where the asset can have jumps in its paths. We start with the mathematical basis to evaluate an European Call when the asset is modeled like a Jump-Diffusion process. After that, we use the hypothesis of "normal" distribution to the jumps and evaluate the Call using its analytic equation. Thereafter, we detail the construction of two numerical Monte-Carlo models , differentiated by the jumps distribution, the "Normally distributed" Jump- Diffusion model and the "Double Exponentially distributed" Jump-Diffusion model. Afterwards, It’s priced using the well known Black-Scholes model, used as a reference for all the results. Finally, all the prices are compared, with special attention to the numerical Jump-Diffusion models. At the end we hope to give enough basis to justify the use of an algorithm in order to price this specific European Call.

Quando parliamo di applicazioni della matematica in finanza, una ragionevole domanda è la seguente "I risultati ottenuti aderiscono alla realtà del mercato"? Le risposte alla domanda possono essere molteplici ma comunque il punto focale della questione è stabilire se si stia cercando un modello che predica il prezzo di un titolo azionario, un tasso o qualunque altra cosa in modo tale che la finanza matematica possa risultare insoddisfacente. D’altra parte, se si sta cercando di determinare il miglior prezzo per il sottostante, i.e. una ulteriore informazione che permetta di prendere delle scelte fondate, la finanza matematica può iniziare ad essere utile. In questo lavoro vogliamo analizzare la connessione tra il mondo reale, rappresentato da una opzione di tipo Call Europea di una ben nota emittente che opera nel mercato brasiliano e quattro modelli atti a valutare il suddetto strumento derivato. Utilizzando i dati storici relativi ad una osservazione quadriennale di questo asset, replichiamo e compariamo il prezzo fornito dai menzionati modelli a quello fornito dal mercato reale. Il principale obiettivo del lavoro è quello di esplorare la procedura di pricing di una opzione Call Europea in un modello con salti, ovvero dove l’asset può avere salti nelle traiettorie. Innanzi tutto, i prerequisiti matematici necessari alla valutazione di una Call Europea, quando l’asset è modellato come un processo Jump-Diffusion, sono presentati. Quindi ipotizziamo che i salti siano distribuiti in modo "normale" e valutiamo la Call per mezzo della sua equazione analitica. Dopodiché, diamo i dettagli della costruzione di un metodo di tipo Monte Carlo che differiscono per la tipologia di distribuzione ipotizzata per i salti: distribuzione "normale" e distribuzione "doble exponential". Dunque il prezzo è ottenuto utilizzando il ben noto modello di Black-Scholes, utilizzato come riferimento per tutti i risultati. In conclusione, tutti i prezzi sono raffrontati dando particolare attenzione ai modelli numerici per Jump-Diffusion. Alla fine speriamo di dare una base sufficiente a giustificare l’uso di un algoritmo per il prezzaggio di questa specifica opzione.