LYMPH3D: A new library to solve PDE problems with Discontinuous Galerkin methods on three-dimensional polytopic meshes

The numerical approximation of partial differential equations (PDEs) posed on complicated geometries represents a challenging computational problem. Indeed, the use of mesh generators employing elements of standard shape, i.e. simplices or tensor product elements, can lead to very fine finite element meshes. Hence, the computational effort required to numerically approximate the underlying PDE problem may be prohibitively expensive. An alternative approach is to solve the PDE problem by using polytopic (polygonal or polyhedral) elements. The main advantage of choosing polytopic element shapes over classical simplicial/hexahedral elements is that the average number of elements needed to discretize complicated domains is substantially smaller and this allows to reduce the complexity of the given computational geometry. In this work of thesis we focus on discontinuous Galerkin methods on polytopic grids (PolyDG) to discretize differential problems. After recalling some numerical aspects on the polytopic meshes and some theoretical results on the PolyDG method, we develop a new library called LYMPH3D written in Fortran. The library can be used to solve PDE problems by using the PolyDG method in three-dimensions. We perform a convergence analysis on a simple geometry of a cube, employing first a tetrahedral and then a polyhedral mesh of the cube. The latter is obtained via agglomeration of a tetrahedral mesh. Finally, we demonstrate the capabilities of LYMPH3D considering the solution of a PDE problem on a challenging geometry, namely a human brain.

L'approssimazione numerica delle equazioni alle derivate parziali (in breve EDP) poste su geometrie complicate rappresenta un problema di costo computazionale elevato. Infatti, l'uso di generatori di mesh che impiegano elementi di forme classiche, come ad esempio tetraedri o esaedri, può portare nella generazione di mesh agli elementi finiti che sono molto raffinate. Pertanto, lo sforzo computazionale richiesto per approssimare numericamente un problema di EDP può essere talmente costoso da essere proibitivo. Un approccio alternativo consiste nel risolvere un problema di EDP utilizzando elementi politopici (poligonali o poliedrici). Un vantaggio di scegliere elementi politopici rispetto ai classici elementi simpliciali/esaedrici è che il numero medio di elementi necessari per discretizzare domini complicati è sostanzialmente minore. Ciò permette di ridurre la complessità della geometria computazionale data. In questo lavoro di tesi ci focalizziamo sui metodi Discontinuous Galerkin su mesh politopiche (PolyDG, in breve) per discretizzare problemi differenziali. Dopo aver richiamato alcuni aspetti numerici sulle mesh politopiche ed alcuni risultati teorici sul metodo PolyDG, sviluppiamo una nuova libreria chiamata LYMPH3D scritta in Fortran. La libreria può essere utilizzata per risolvere un problema EDP utilizzando il metodo PolyDG in tre dimensioni. Analizziamo la convergenza della soluzione numerica su una semplice geometria di un cubo, utilizzando prima una mesh tetraedrica e poi poliedrica del cubo. Quest'ultima è ottenuta agglomerando la mesh tetraedrica. Infine dimostriamo le potenzialità di LYMPH3D considerando la soluzione di un problema di EDP su una geometria complicata, trattando il caso di un cervello umano.