A reduced order model of glioblastoma growth and its neuroimaging-informed estimation of patient-specific parameters

The physical parameters driving the growth and the recurrence of Glioblastoma Multiforme (GBM) are highly specific to each patient. For this reason, the proposal of finding a mathematical model that allows an accurate parameters estimation from neuroimaging data becomes of fundamental importance if we want to propose a computational framework that could help clinicians with decision-making. In general, the estimation of the parameters requires a high computational cost, often unsuitable for clinical use if not assisted with techniques to reduce the complexity of starting problem. In this thesis, we propose a diffuse interface model of GBM growth based on mixture theory, which consists of a Cahn-Hilliard equation coupled with a reaction-diffusion equation to describe the evolution of the nutrient for cancer cells. The specificity of each patient is modelled via a set of numerical parameters, which dictate the peculiar growth of the tumour and whose prediction is the final objective of the proposed methodology, and through the tensors D and T, obtained with Diffusion Tensor Imaging (DTI), respectively denoting a patient-specific preferential diffusion direction for the nutrient and preferential motility for the tumour growth, that determine the actual shape of the GBM. Starting from a full-order discretization of the proposed model based on the finite element method, we obtain a reduced-base model (ROM) through the proper orthogonal decomposition technique (POD). For the solution of the full order PDEs system, we make use of FEniCSx, a powerful open-source computing platform. The implementation of the used code heavily relies on two of its libraries: DOLFINx and Unified Form Language (UFL). The Full Order Model reduction is computed thanks to the C++/Python library RBniCSx that contains a set of functions for performing reduced order modelling techniques. By means of a neural network-based approach, we build a map between the parameter space and the solution in the reduced space that describes the concentration of the tumour over time. As a tool to estimate patient-specific parameters, we propose an approach based on a second neural network trained to predict the parameters of the model based on the tumour distribution in two separate time instants. In this way, the computational effort focused on the training phase, that requires the FOM to be solved several times starting from the same initial condition, is balanced by the rapidity in the estimation of the parameters once the information on the actual evolution of the tumour at a second time instant is available. Such an approach may be exploited in clinical practice to deduce the parameters of the model from imaging data.

I parametri fisici che determinano la crescita e ricomparsa del glioblastoma multiforme (GBM) sono altamente specifici per ciascun paziente. Per questo motivo, la ricerca di modelli matematici che permettano una stima adeguatamente accurata dei parametri a partire da immagini cliniche è di fondamentale importanza se si vuole aiutare il personale medico nel prendere decisioni. In generale, la stima dei parametri richiede un alto costo computazionale, spesso incompatibile per l’utilizzo clinico, se non coadiuvata a tecniche per ridurre la complessità del problema di partenza. In questa tesi, proponiamo un modello ad interfaccia diffusa per la crescita del GBM, che consiste in una equazione Cahn-Hilliard accoppiata ad un’equazione di reazione-diffusione per descrivere l’evoluzione del nutriente delle cellule tumorali. La specificità per ciascun paziente è modellata attraverso dei parametri numerici, che dettano la crescita peculiare di ciascun tumore e la cui predizione è l’obiettivo finale della metodologia proposta. Partendo da una discretizzazione full-order del modello proposta (FOM), otteniamo un modello a basi ridotte (ROM) attraverso la tecnica di Proper Orthogonal Decomposition (POD). Per la soluzione del sistema di PDE e la sua riduzione, utilizziamo le librerie FEniCSx e RBniCSx. Utilizzando un approccio basato su reti neurali, costruiamo una mappa tra lo spazio dei parametri e la soluzione proiettata sullo spazio ridotto che descrive la concentrazione tumorale nel tempo. Per stimare i parametri specifici del paziente, proponiamo l’utilizzo di un’ulteriore rete neurale allenata a predire i parametri del modello basandosi sulla distribuzione del tumore in due istanti di tempo distinti. In questo modo, lo sforzo computazionale concentrato nel training delle reti, che richiede che il FOM sia risolto molte volte partendo dalle medesime condizioni iniziali, è bilanciato dalla rapidità con cui i parametri vengono stimati una volta disponibile l’informazione sulla evoluzione reale del tumore ad un secondo instante temporale. Questo metodo potrebbe essere sfruttato in un caso reale per dedurre i parametri del modello dalle immagini cliniche in possesso.