Stable minimal hypersurfaces

This work includes an introduction to the problem of minimal hypersurfaces and the mathematical tools needed to approach it, in the last chapter a flatness condition for minimal stable hypersurfaces is proved and from the results in [2] an extension of [17, Theorem 2] in the case of stability is presented. After an introduction to vector bundles, sections, and the Laplacian operator on sections some well-known equalities and inequalities are proved. Three different mathematical descriptions of hypersurfaces are then introduced, Caccioppoli sets, currents, and classical submanifolds, and the area functional is defined for each description. Then the first variation is computed in the setting of Caccioppoli sets. Then the second variation formula is fully computed in the case of submanifolds embedded in general manifolds, as the stability will be studied in this setting. The Bernstein Theorem, that is flatness of minimizing hypersurfaces in Rn+1 for n ≤ 6, is proved using blow up and blow down methods. Stable minimal submanifolds are then considered, the stability is related to the positivity of an operator of the form −∆ − V , the eigenvalue problem is hence studied and the Morse Index Theorem which states the behavior of eigenvalues under contraction of the domain is presented. In order to have the counter-example for the Bernstein Theorem also when only smooth competitors are considered, it is important the smoothing of minimal cones. The smoothing of cones with a singularity at the origin is found in [14] the result is presented and an outline of the proof using minimizing currents is given. At last, it is proved that if the second form of a minimal hypersurface in Rn+1 with n < 6 is bounded by the first eigenvalue of the Laplacian |A|^2(x) ≤ λ1(−∆) then the hypersurface is stable and flat. In conclusion from the results in [2] is derived a theorem extending [17, Theorem 2] in the case of stability, with which it is proved flatness of stable minimal hypersurfaces for n = 2 and as in [2] for n = 3. [2] G. Catino, P. Mastrolia, and A. Roncoroni. Two rigidity results for stable minimal hypersurfaces. 2022. URL https://arxiv.org/abs/2209.10500v4. [17] R. Schoen, L. Simon, and S. T. Yau. Curvature estimates for minimal hypersurfaces. Acta Math. 134, pages 275-288, 1975. [14] S. Leon and H. Robert. Area minimizing hypersurfaces with isolated singularities. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 362:102-129, 1985.

Questo lavoro comprende una introduzione al problema delle ipersuperfici minime e agli strumenti matematici necessari a descriverle, nell'ultimo capitolo una condizione affinché una ipersuperfici minima stabile sia piana è dimostrato, inoltre dai risultati in [2] un'estensione di [17, Theorem 2] per la stabilità è presentato. Dopo una intro- duzione ai vector bundles, sezioni, e l'operatore Laplaciano sulle sezioni alcune delle più note uguaglianze e disuguaglianze sono dimostrate. Tre differtenti descrizioni matematiche di ipersuperfice sono introdotte, insiemi di Caccioppoli, le correnti, e sotto varietà classiche, inoltre viene introdotto il funzionale di area per ogni descrizione. La variazione prima è calcolata nel caso di insiemi di Caccioppoli. La variazione seconda è poi calcolata nel caso di sotto varietà immerse in varietà generiche, in quanto la stabilità verrà studiata su varietà. Il teorema di Bernstein, cioè che ipersuperfici minimizzanti in R^{n+1} sono piane per n ≤ 6, è dimostrato usando i metodi di blow up e blow down. Si passa quindi al caso stabile, la condizione di stabilità è legata alla positività di un'operatore della forma −∆ − V , è quindi studiato il problema agli autovalori e il teorema dell'indice di Morse, il quale discute il comportamento degli autovalori quando il dominio è contratto, viene presentato. Per avere il controesempio del teorema di Bernstein quando ipersuperfici lisce sono considerate, è importante lo smoothing di coni minimi. Questo risultato per coni con singolarità nell'origine si trova in [14], viene quindi ripresentato e la dimostrazione discussa. In fine viene dimostrato che se la seconda forma di una ipersuperfice minima in Rn+1 con n < 6 è controllata dal primo autovalore del Laplaciano |A|^2(x) ≤ λ1(−∆) allora la ipersuperfice è stabile e piana. Concludendo dai risultati in [2] è derivato un teorema che estende [17, Theorem 2] nel caso della stabilità, con tale teorema viene dimostrato che ipersuperfici minime stabili sono piane per n = 2, e come in [2] anche per n = 3. [2] G. Catino, P. Mastrolia, and A. Roncoroni. Two rigidity results for stable minimal hypersurfaces. 2022. URL https://arxiv.org/abs/2209.10500v4. [17] R. Schoen, L. Simon, and S. T. Yau. Curvature estimates for minimal hypersurfaces. Acta Math. 134, pages 275-288, 1975. [14] S. Leon and H. Robert. Area minimizing hypersurfaces with isolated singularities. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 362:102-129, 1985.