Stima del centro d'anca con filtro di Kalman unscented per chirurgia ortopedica

Arthrosis affected almost the 17.8% of the Italian people (Istat data ) in 2009. Arthrosis can cause the malignement of the knee articulation inducing articular pain, reduction of the range of motion (ROM) and descreasing of articular functionality (1). Surgical intervention with Total Knee Arthoplasty or Replacement (TKA-TKR) of the articulation is required for the worst clinical cases. The femoral and tibial prosthesis should be aligned with an angle less than ±3° with respect to the mechanical axes of the leg, in order to achieve the correct positioning of the prosthetic components. Computer Assisted Orthopeadic Surgery (CAOS) allows better accuracy and repeteability of the prosthesys positioning, using navigation procedures (2). To compute the mechanical axis of the femur, the hip joint center (HJC) has to be localized. In image-less CAOS applications, HJC position is computed through the passive circumduction of the femur around the pelvis (pivoting). During the movement, an optic localization system measures the poses of the limbs, which are tracked by markers or Dynamic Reference Frames (DRFs), set of markers rigidly fixed on the segments (4). During TKR-TKA interventions, the patient pelvis is usually not tracked during the pivoting (5). Functional methods have been presented in literature to compute the HJC position from the acquired dataset of pivoting poses. The “Sphere-Fitting” algorithms (SF) (12)(13) estimate the HJC computing the center of the best-fitting sphere on DRF trajectory during the entire acquisition. These were the first functional methods implemented, but this approach is not robust and leads to high noise sensitivity for small ranges of motion (14). A different functional approach is the “Transformation Techniques” algorithms (15). These methods compute the HJC position as the fixed point in a common Reference Frame (RF), computed through spatial transformations between local RFs. The’Pivoting’ algorithm (16), based on a least square approach, shows better performances of accuracy, computational time and noise sentivity with respect to the SF algorithms (17). A source of systematic error in HJC localization algorithms is represented by the pelvis motion during the pivoting (5). Functional algoritms do not include the pelvis motion in the hip kinematic model, when the hip is not tracked by the localization system. In motion capture applications, Kalman Filter (KF) methodology was applied with success and significantly improved the obtained results. A localization system acquires the position of markers attached on the limbs. For human motion recovery applications, Cerveri used KF to estimate the kinematical variables of a virtual biomechanical model (18). Halvorsen used it to localize hidden segments (on which marker attachment is not allowed) in order to estimate the pose of a kinematic system during motion (19). The purpose of this study was to validate the accuracy and robustness of an Unscented Kalman Filter (UKF) algorithm to track the HJC position during passive femoral pivoting in CAOS procedures. In UKF algorithm, the HJC is modeled as a mobile point in the absolute Reference Frame (RF). The state space model describes a two links kinematics under the hypothesis of non-laxity of the articulation (ideal spherical joint). The first link models the femoral bone, while the second link models the pelvis. The femur is tracked with a DRF attached to the distal end, composed by four active markers, while the pelvis is tracked attaching a marker to it. The kinematic relations between the state vector and the observations are non linear function. The state space has been implemented with II order linear dynamics. The position of HJC in the Femur Reference Frame (FRF) is modeled with non-dynamic state variables. The accuracy of UKF method is evaluated as the Euclidean distance between respectively the estimated and Gold Standard HJC positions in femoral RF. The KF method performances were compared with the state-of-art “Pivoting” algorithm (16). First of all, UKF algorithm was tested in virtual environment. A graphical interface allowed the user to set the geometrical (range of motion and dimensions of the limb) and the kinematic (mean velocity, HJC translation) parameters of the pivoting motion and the acquisition parameters of the simulated measurements (sample frequency, number of frames, optic noise amplitude). The tuning of filter parameters, which rappresented the uncertanty of the state variables, was experimentally computed. The covariance of measurments errors was estimated in relation to the optical noise amplitude set during the generation of the pivoting trajectory (20). The UKF localization errors were evaluated with respect to the amplitude of the optical noise (0.15-0.13mm), to the HJC translation (0-20mm), to the Range Of pivoting Motion (ROM, 50-100mm) and to the velocity of femur DRF trajectory (100-200mm/s) with a Pearson correlation analysis (21). In order to validate the proposed algorithm, a physical model of the hip (femur and pelvis) was realized. An active optical localization system was used in order to track the coordinates of two DRF rigidly connected on each segment and the coordinates of a marker attached to the pelvis segment (on the Anterior Superior Iliac Spine ASIS). The joint capsule between the two bone phantoms was made with an elastic grid that mimics the ligaments functionality. The hip phantom is locked on a Mass-Spring-Damper platform with 2 DoFs, which mimics soft tissues behaviour. The elastic component of the model was experimentally estimated through traction tests (elastic coefficient for a spring, 1.18±0.1mN/m), while the resonance analysis proved the viscoelastic behavior of the platform (22) through tests with mechanical impulses of known amplitude. The optical noise of the localization system was estimated on the DRF poses, used in the experimental setup, with statical acquisitions (maximum error results on the pointer DRF: 0.015 ± 0.011mm)(15). The measurement error covariance parameters of the femoral DRF and the ASIS pelvis marker were set in relation to the optical noise estimated on them (normal distribution requirement of UKF applicability was verified)(24). Then, the anatomical Gold Standard position for HJC localization in femur (〖GS〗_f) and pelvis (〖GS〗_p) SdRs were computed through the optical scanning of respectively the femoral head and the acetabular cup. The articular laxity of the phantom, that is a source of error in the UKF state model, was evaluated (3.2 ± 0.32 mm). During each acquisition the femoral DRF and the ASIS marker were acquired. The pivoting trajectories were classified in groups in relation to the estimated kinematic parameters: mean HJC translation (0-15mm), mean amplitude of the range of motion (100-200mm) and mean velocity of the pivoting trajectory (100-1000mm/s). The tuning of the filter parameters was done experimentally and it was manteined fixed on the entire set of acquisitions. The statistical analysis of the UKF and “Pivoting” accuracies was done in relation to the estimated kinematic parameters on the pivoting trajectory. Simulation results showed better performances of UKF with respect to “Pivoting” algorithm. UKF produced median localization errors less than 1cm for the entire translation range of HJC (0-20mm), while the ‘Pivoting’ algorithm showed increasing errors till a median and inter-quartile range IQR (30; 3) mm on those trajectories with HJC translation equal to 20mm. The accuracy of both methods decreases with the reduction of the range of motion. The “Pivoting” algorithm showed the greatest localization errors on trajectories with Range of motion less than 100mm and HJC translation more than 10mm. In the same group of trajectories, UKF does not converge on the estimate of the HJC position and those trajectories were not taken into account in the statistical analysis. Convergence on those trajectories was proved with a set of different filter parameters. The UKF method was not correlated (p<0.05) with HJC translation for displacements greater than 5mm, while the “Pivoting” algorithm was correlated (p<0.0001) with the HJC translation. Both methods showed a negative correlation (p<0.0001) between the localization errors and the range of pivoting motion. The validation on the physical phantom showed that the localization accuracies of the two methods were comparable for HJC translation less than 2mm (UKF (3.14; 1.9) mm, “Pivoting” (3.62; 1.17) mm). In literature, similar experimental conditions (fixed hip and the anatomical HJC position as the Gold Standard) showed better accuracy of “Pivoting” method (RMS 1.6mm)(17). The UKF method proved better performances with respect to “Pivoting”, when the HJC translation is greater than 2mm. The localization median errors increased till (15.20; 11.02) mm for trajectories with HJC translation in range [8-13] (“Pivoting” (26.73; 4.32) mm). In this range, the accuracy of UKF decreased when the pivoting mean velocity increased. Both methods proved to be correlated (p<0.001) with the HJC translation, while no correlation was found between localization errors and the range of pivoting motion. This last result is proved by the small range of motion [100-200] mm, which was the range in which UKF proved to be robust during simulation tests. UKF method proved to be also correlated (p<0.0001) with the mean velocity of the pivoting motion. In conclusion, the substantial improvement of KF method is the possibility of reducing the systematical error, caused by pelvis motion during passive movement of the femur, to compute HJC position. UKF algorithm is proved to be enough robust in relation to the dynamic content [mean velocity on femur, 100-1000mm/s] and the range of motion [pivoting ray, 100-200mm] of the pivoting trajecotory. On the other hand, tracking the HJC trajectory in real time is a nontrivial task and requires a very accurate filter parameters tuning. The new method KF proved to be applicable in current CAOS systems. Further tests must be made to estimate the in-vivo range of HJC translation during passive pivoting movements and evaluate the performances of KF method with respect to others state-of-the-art methods. Validation with a 6-degrees-of-freedom phantom is also proposed.

L’artrosi è la patologia più diffusa che colpisce la cartilagine intra-articolare. Nel 2009, assieme alle patologie artritiche, è stata registrata un’incidenza nella popolazione italiana pari al 17,8% (dato Istat). L’artrosi del ginocchio porta ad un disallineamento dell’articolazione femoro-tibiale con conseguente dolore, riduzione dell’escursione del movimento (range of motion, ROM) e peggioramento della funzionalità articolare(1). Si rende necessario nel casi più gravi intervenire chirurgicamente con interventi di artroplastica o ricostruzione totale delle strutture articolari. Le tecniche chirurgiche ortopediche assistite al calcolatore (CAOS) permettono di migliorare l’accuratezza e la ripetibilità nel posizionamento della protesi, grazie all’uso di strumenti di navigazione in sala(2), e di rispettare le specifiche cliniche di garanzia della buona riuscita dell’intervento (±3° di disallineamento massimo delle componenti tibiale o femorale rispetto ai rispettivi assi meccanici)(3). La determinazione dell’asse meccanico femorale richiede di rendere nota la posizione del centro dell’articolazione dell’anca (HJC). In applicazioni CAOS image-less, la localizzazione di HJC viene effettuata tramite una procedura di movimentazione passiva del femore attorno al bacino (pivoting). Durante il movimento, un sistema di localizzazione ottico aquisisce la posa dei segmenti corporei di interesse, attraverso la misura diretta della posizione di singoli marcatori superficiali o della posa di Dynamic Reference Frame (DRF), composizione di marcatori rigidamente fissati all’arto(4). In applicazioni CAOS di ricostruzione o artroplastica totale di ginocchio, generalmente, la posa dell’osso pelvico non viene acquisita durante il movimento passivo(5). In letteratura, sono presentati diversi metodi per il calcolo del HJC: metodi anatomici basati su immagini (6)(7)(8) o basati su regressione (9)(10)(11) e metodi funzionali. Questi ultimi sono quelli che utilizzano il dataset di pose femorali acquisito durante pivoting per ottenere una stima della posizione di HJC. Tra questi, un primo gruppo di metodi, chiamati algoritmi di ‘Fitting Sferico’ (SF)(12)(13), stimano il HJC come il centro della sfera che meglio approssima la traiettoria del DRF femorale durante l’intera acquisizione. Sono stati i primi metodi funzionali introdotti, ma l’approccio non si è dimostrato robusto e mostra alta sensitività al rumore per bassi range di movimento(14). Un approccio completamente differente è identificato dai metodi di localizzazione basati su ‘Trasformazione’(15). Questi ultimi sfruttano le trasformazioni spaziali tra Sistemi di Riferimento (SdR) per riportare i SdR locali, definiti sugli arti di interesse, in un SdR comune, dove HJC è identificato come il punto invariante. L’algoritmo di ‘Pivoting’(16), basato su un approccio di minimizzazione ai minimi quadrati, mostra migliori performance in termini di accuratezza, velocità computazionale e sensitività al rumore rispetto agli algoritmi SF(17). Una sorgente di errore sistematico negli algoritmi di localizzazione HJC è rappresentato dal movimento del bacino durante il pivoting(5). Quando il bacino non viene localizzato con un DRF, gli algoritmi funzionali, ad oggi implementati, non ne considerano il movimento nella definizione del modello cinematico di sistema. Nelle applicazioni di analisi del movimento, è stato dimostrato il grande vantaggio derivato dall’utilizzo di algoritmi basati su Filtro di Kalman (KF). Alcuni set di marcatori vengono posizionati sulla superficie dei segmenti corporei di interesse ed acquisiti da sistemi di localizzazione. In applicazioni di analisi del movimento umano, Cerveri implementa KF per stimare le variabili cinematiche di posa di modelli biomeccanici, osservando la posizione di marcatori virtuali corrispondenti al dataset acquisito(18). Halvorsen utilizza il filtro di Kalman per localizzare segmenti nascosti (su cui non è possibile posizionare marcatori) nella stima della posa di un sistema cinematico in movimento(19). Lo scopo di questo lavoro è stato valutare l’accuratezza e la robustezza di un algoritmo basato su Filtro di Kalman Unscented (UKF) per la localizzazione del HJC durante il pivoting femorale in procedure CAOS. UKF è basato su un modello cinematico dell’anca che definisce HJC come un punto mobile nel SdR assoluto, assumendo che il bacino non sia vincolato ad una posa fissa. Il modello a spazio di stato descrive la cinematica di femore e bacino sotto l’ipotesi di non lassità dell’articolazione (giunto sferico ideale). Il femore è localizzato con un DRF, composto da 4 marcatori attivi, fissati alla parte distale dell’arto, mentre il bacino è localizzato solo dall’apposizione di un marcatore sulla superficie (Anteriori Superior Iliac Spine, ASIS). Le relazioni cinematiche tra il vettore di stato e le osservazioni sono non lineari, mentre il modello di stato è stato implementato con una dinamica lineare del II ordine. L’accuratezza di localizzazione dell’algoritmo UKF è valutata come distanza euclidea tra la stima della posizione di HJC nel SdR solidale al femore, definita con variabili senza dinamica nel modello di stato, e la relativa posizione Gold Standard. Il metodo UKF sviluppato è stato confrontato con il metodo ‘Pivoting’ (16), stato dell’arte degli algoritmi funzionali. In primo luogo l’algoritmo UKF è stato testato in ambiente di simulazione. I parametri geometrici (range di movimento e lunghezze dell’arto) e cinematici (velocità angolare di pivoting, ampiezza di traslazione di HJC) del movimento simulato e i parametri di acquisizione, che simulano le osservazioni di un sistema di localizzazione ottico (frequenza, numero di frame, ampiezza del rumore stereofotogrammetrico) vengono definiti tramite interfaccia grafica. Il tuning dei parametri del filtro UKF, che identificano le incertezza del modello di stato, viene effettuato sperimentalmente; la covarianza dell’errore di misura è stimata a priori in relazione all’ampiezza del rumore ottico simulato in fase di generazione della traiettoria(20). La performance di UKF è stata valuta in termini di robustezza al rumore ottico (0.15-0.3mm), all’ampiezza di traslazione imposta su HJC (0-20mm), all’ampiezza del movimento di pivoting (50-200mm) e alla velocità della traiettoria femorale (100-200 mm/s) tramite l’analisi di correlazione di Pearson(21). La validazione sperimentale dell’algoritmo UKF è stata effettuata su un modello fisico dell’anca, che mima la funzionalità dell’articolazione e la presenza di tessuti molli del bacino. Il modello dell’articolazione è composto da un fantoccio pelvico e da un fantoccio femorale, su cui sono stati rigidamente ancorati due DRF che ne identificano i SdR locali. La connessione articolare tra i due fantocci ossei è stata realizzata tramite una gabbia elastica, che mima la funzionalità dei legamenti articolari. La presenza di tessuti molli attorno al bacino è stata modellizzata con un sistema meccanico di II ordine Mass-Spring-Damper MSD, che inserisce tre gradi di libertà al movimento del fantoccio pelvico, rigidamente connesso ad esso. La componente elastica del modello è stata dimensionata attraverso prove sperimentali a trazione (coefficiente elastico stimato per la singola molla 1,18±0.1mN/m), mentre l’analisi del comportamento in risonanza del sistema, in risposta ad un set di impulsi meccanici noti, ha permesso la verifica della funzionalità della componente viscoelastica di smorzamento (22). Il rumore ottico del sistema di localizzazione sulla misura della posa dei DRF, utilizzati nel setup sperimentale, è stato stimato tramite acquisizioni statiche al centro del campo di vista del sistema (massimo errore registrato sul pointer: 0.015 ± 0.011mm)(15). I parametri di covarianza dell’errore di misura del DRF femorale e del marcatore ASIS sono valutati in relazione all’ampiezza del rumore ottico, che è stato dimostrato rispettare le ipotesi di modello UKF (distribuzione gaussiana a media nulla sulla singola componente cartesiana)(23). Successivamente, le posizioni Gold Standard anatomiche di localizzazione di HJC femorale 〖GS〗_f e pelvico 〖GS〗_p sono state stimate sui fantocci ossei tramite la scansione delle superfici rispettivamente della testa femorale e della coppa acetabolare (residuo radiale RMS 0.22mm 〖GS〗_f, 0.18mm 〖GS〗_p). Questa procedura ha permesso la stima della lassità articolare (3.2 ± 0.32 mm) del modello fisico, che costituisce un errore nel modello di stato di UKF. Infine, è stato definito un protocollo di acquisizione per la validazione dell’algoritmo UKF sul modello fisico caratterizzato. Ogni acquisizione comprende la misura della posa del DRF femorale e della posizione di un marcatore ottico (un marcatore singolo del DRF del bacino), che mima la funzionalità di un marcatore superficiale posto sul bacino in ASIS. Le acquisizioni vengono classificate in gruppi secondo i parametri cinematici, stimati sulla traiettoria di pivoting: traslazione media di HJC (0-15mm), ampiezza di movimento di pivoting femorale (100-200mm) e velocità media della traiettoria del DRF femorale (100-1000mm/s). Il tuning dei parametri del filtro è effettuato sperimentalmente, considerando un aumento dell’errore di modello dovuto alla lassità stimata sull’articolazione fisica. La validazione in simulazione e su modello fisico è stata eseguita a tuning costante dei parametri del filtro. Il confronto statistico dell’accuratezza di localizzazione di HJC degli algoritmi UKF e “Pivoting” è stato effettuato in relazione ai parametri cinematici, stimati sulla traiettoria di pivoting acquisita. L’analisi di correlazione ha messo in luce le caratteristiche di robustezza dei due metodi. I risultati riportati dai test di simulazione mostrano migliori performance di UKF rispetto all’algoritmo di “Pivoting”. Il metodo UKF presenta un errore mediano di localizzazione inferiore ai 10mm per l’intero range di traslazione HJC valutato (0-20mm), mentre il metodo “Pivoting” presenta un errore che cresce fino a mediana e distanza interquartile (IQR) (30; 3)mm su classi di traiettorie con traslazione HJC pari a 20mm. L’accuratezza di entrambi i metodi peggiora con un ridotto range di movimento di pivoting. Le traiettorie con ampiezza di pivoting inferiore a 100mm e traslazioni di HJC superiori a 10mm risultano la classe che ha riportato l’accuratezza peggiore per il metodo “Pivoting” (mediana 57.18; IQR 50.6)mm; il metodo UKF non converge in quella stessa classe di traiettorie con il tuning impostato sperimentalmente. Si è verificata la convergenza del metodo con un differente set opportuno di parametri del filtro. Il metodo UKF non risulta correlato (p<0.05) alla traslazione di HJC per spostamenti superiori a 5mm, mentre il metodo “Pivoting” presenta correlazione (p<0.0001) con il parametro traslazione HJC. E’ stata riscontrata in entrambi i metodi una correlazione negativa (p<0.0001) tra l’errore di localizzazione e l’ampiezza del movimento di pivoting. La validazione su modello fisico ha confermato i risultati di simulazione, registrando errori di localizzazione paragonabili tra UKF e “Pivoting” solo per traslazioni inferiori a 2mm (UKF (3.14; 1.9)mm, “Pivoting” (3.62; 1.17)mm). In letteratura, simili condizioni di analisi sperimentale (posizione GS anatomica e bacino fisso) riportano una migliore accuratezza del metodo “Pivoting” (RMS 1.6mm)(17). La miglior accuratezza di localizzazione di UKF è evidente per traslazioni superiori ai 2mm. Il metodo UKF aumenta l’errore di localizzazione fino a (15.20; 11.02)mm per traslazioni nel range [8-13]mm (confronto con “Pivoting” (26.73; 4.32)mm). In questo range, l’accuratezza del metodo UKF peggiora (p<0.05) all’aumentare della velocità media della traiettoria di pivoting. Entrambi i metodi risultano positivamente correlati (p<0.001) con la traslazione di HJC, mentre non si riscontra correlazione tra gli errori di entrambi i metodi e l’ampiezza del movimento di pivoting. Quest’ultima osservazione è motivata dal ridotto range di ampiezze di pivoting considerato [100-200]mm, che è stato identificato come range di robustezza dei parametri di tuning del filtro UKF in fase di simulazione. Si riscontra una correlazione positiva (p<0.0001) degli errori del metodo UKF con la velocità del movimento di pivoting. In conclusione, il sostanziale miglioramento apportato dal metodo UKF è la possibilità di ridurre l’errore sistematico causato dal movimento del bacino, durante il movimento passivo del femore, nella stima della posizione di HJC. Il metodo UKF si è dimostrato sufficientemente robusto in relazione al contento dinamico [velocità media femorale, 100-1000mm/s] e l’ampiezza di movimento [raggio di pivoing, 100-200mm] della traiettoria di pivoting in condizioni simili a quella della sala operatoria. L’inseguimento della traiettoria HJC in tempo reale è un obiettivo più complesso e risulta necessario un tuning accurato dei parametri del filtro, variabile in funzione della traiettoria di pivoting analizzata. Ulteriori test devono essere effettuati per stimare il range di traslazione HJC in-vivo durante movimentazione passiva del femore e valutare la performance del metodo UKF in relazione ad altre metodologie stato dell’arte. Inoltre, si propone la validazione dell’algoritmo con un modello fisico che implementi sei gradi di libertà per il movimento del bacino.