Additive normal tempered stable process: a new way to model the implied volatility surface

In this thesis, we introduce a new class of pure jump additive processes for modeling equity implied volatility surfaces: the additive normal tempered stable process (ATS). We derive its short-time-to-maturity asymptotics. We show that ATS accurately calibrate the volatility level and skew on different days (nine-year dataset). This framework allows pricing European options with classical closed-form methods (e.g., Lewis formula) on the one hand, and exotic derivatives with fast Monte Carlo schemes, on the other hand. The ATS is a simple additive process for equity index derivatives. A process is said to be an additive process if it presents independent (but not-stationary) increments. In particular, we present in detail the application of Normal Tempered Stable processes (e.g., NIG and VG) with time-dependent parameters. It accurately fits the equity index volatility surfaces in the whole time range of quoted instruments, including options with small time-horizon (days) and long time-horizon (years). We introduce the model via its characteristic function; this allows using Fourier pricing techniques. We show that even if the model loses the classical stationarity property of Lévy processes, it presents interesting scaling properties for the calibrated parameters. The two power-law scaling parameters are beta, related to the variance of jumps, and delta, related to the smile asymmetry. In option market data, we observe that beta=1 and delta=-1/2; we build a statistical test that confirms this power-law scaling result. We examine the short-time-to-maturity behavior of the ATS. As emphasized by empirical studies, a negative skew inversely proportional to the square root of the time-to-maturity characterizes the equity implied volatility. We prove that the implied volatility of these additive processes is consistent, in the short time, with the equity market observed characteristics if and only if beta=1 and delta=-1/2. We design a new fast Monte Carlo scheme also for ATS. The scheme leverages on the independence of the increments for additive processes and is based on the ATS characteristic function. We prove some bounds on the method biases and we test its performances against a classic Gaussian approximation method (based on the ATS Lévy measure). Finally, we test the quality of the calibration on historical S&P 500 and EURO STOXX 50 options prices on a large dataset composed by nine years of closing prices. To calibrate the process on equity market data, we introduce a new technique to recover the implicit discount factor (and forward prices) in the derivative market using only European put and call prices: this discount is grounded in actual transactions in active markets. The (unique) forward contract -built using the put-call parity relation- contains information about the market discount factor: by no-arbitrage conditions, we identify the implicit interest rate such that the forward contract value does not depend on the strike.

In questa tesi, introduciamo una nuova classe di processi additivi pure jump per la superficie di volatilità equity: chiamiamo questo processo additive normal tempered stable process (ATS). Studiamo il suo comportamento asintotico per tempi brevi. Mostriamo che l’ATS calibra accuratamente il livello di volatilità e la skew in giorni differenti (usiamo un dataset che copre nove anni). Con l’ATS è possibile prezzare opzioni Europee con delle formule chiuse (come la formula di Lewis) e derivati esotici con efficienti tecniche di Montecarlo. L’ATS è un semplice processo additivo per derivati scritti su indici equity. Un processo è additivo se ha incrementi indipendenti (ma non necessariamente stazionari). Discutiamo in dettaglio il caso di tempered stable process (come NIG o VG) con parametri dipendenti dal tempo. L’ATS riproduce molto bene la superficie di volatilità di un indice equity sia per opzioni a breve che per opzioni a lunga maturity. Introduciamo il modello tramite la sua funzione caratteristica. In questo modo possiamo usare le tecniche di pricing basate sulla trasformata di Fourier. Mostriamo come, anche se il modello non è stazionario, appaiano degli interessanti scaling nei parametri calibrati. I due parametri di scaling sono beta, legato alla varianza dei salti, e delta legato alla asimmetria dello smile. Calibrando sui dati di mercato vediamo come beta=1 e delta=-1/2; mostriamo che c’è evidenza di questo risultato tramite un test statistico. Discutiamo il comportamento a tempi brevi dell’ATS. Come mostrato in molti studi empirici, tendenzialmente nei mercati equity la skew è negativa e inversamente proporzionale alla radice quadrata del time-to-maturity. Dimostriamo come la volatility implicita di questi processi additivi sia consistente, per tempi brevi, con le caratteristiche dei mercati equity se e solo se beta=1 e delta=-1/2. Costruiamo anche un efficiente e veloce metodo di Monte Carlo per l’ATS. Questo metodo sfrutta l’indipendenza degli incrementi dei processi additivi ed è costrutito a partire dalla funzione caratteristica dell’ATS. Dimostriamo alcuni bound sull’errore del metodo e testiamo la sua efficienza rispetto a un classico metodo di Gaussian approximation che utilizza la misura dei salti del processo. Infine, testiamo la qualità della calibrazione dell’ATS su dati storici dell’S&P 500 e EUROSTOXX 50. Il dataset è composto da nove anni di opzioni su questi sottostanti. Per calibrare l’ATS sui dati di mercato equity introduciamo una nuova tecnica per ottenere il discount factor implicito (e i prezzi forward) usando solo i prezzi di opzioni Europee. L’unico contratto forward, che otteniamo a partire dalla relazione di put-call parity ci permette di ricostruire il discount factor implicito nel mercato: imponendo l’assenza di arbitraggio identifichiamo il tasso di interesse implicito come quello per cui il prezzo dei contratti forward non dipende dallo strike.