Discontinuous Galerkin discretizations of hyperelastic models with applications to brain mechanics

Dementia affects millions worldwide, with cases expected to rise significantly by 2050. Reliable mathematical models are critical for understanding the underlying neurodegenerative physical processes. One such process is brain tissue atrophy induced by proteinopathies (such as Alzheimer's disease), which requires accurate representations of tissue mechanical properties to develop detailed simulations. For the mathematical discretization of the associated material models, the discontinuous Galerkin method offers a robust alternative to standard finite element methods, particularly for incompressible or nearly incompressible materials, where locking can lead to non-physical stiffness. Moreover, DG effectively handles mesh distortion and supports both locally defined polynomial degrees and arbitrary polytopal meshes. This work adresses two nonlinear hyperelastic brain tissue models based on compressible Mooney-Rivlin and Neo-Hookean formulations, discretized using a DG finite element method. A linearization technique based on the Newton-Raphson method is proposed to compute the numerical solution. Numerical tests validate the models’ accuracy in reproducing expected biomechanical properties, demonstrating their potential for realistic simulations of brain tissue.

La demenza affligge globalmente milioni di persone, con un numero di casi previsto in significativo aumento entro il 2050. Modelli matematici affidabili sono essenziali per comprendere i processi fisici che portano alla neurodegenerazione. Tra questi processi figura l'atrofia cerebrale indotta dalle proteinopatie (quali, ad esempio, il morbo di Alzheimer), che necessita di rappresentazioni accurate delle proprietà meccaniche del tessuto cerebrale. Riguardo alla discretizzazione matematica dei modelli materiali alla base, il metodo di Galerkin discontinuo (DG) offre una valida alternativa ai metodi ad elementi finiti classici, in particolare nel caso di materiali incomprimibili o quasi-incomprimibili, dove il fenomeno del locking può portare a una rigidità non plausibile dal punto di vista fisico. Inoltre, il metodo DG gestisce efficacemente distorsioni della mesh, e supporta raffinamenti locali del grado polinomiale e mesh politopali di forma arbitraria. Questa tesi sviluppa due modelli di elasticità non lineare per il tessuto cerebrale basati sulle formulazioni di Mooney-Rivlin e Neo-Hook, discretizzati utilizzando il metodo agli elementi finiti Galerkin discontinuo. Un'apposita linearizzazione basata sul metodo di Newton-Raphson è inoltre proposta per il calcolo della soluzione approssimata. I test numerici confermano l'accuratezza dei metodi presentati nel riprodurre le proprietà biomeccaniche attese, dimostrando così il loro potenziale per simulazioni realistiche del tessuto cerebrale.