On the long time behavior of the segregation limit for a competition-diffusion system with periodic boundary conditions

We study the strong competition limit for an evolutive Lotka-Volterra competition-diffusion system arising in spatial modeling of populations. As the interaction strength increases, populations tend to accumulate on separate domains, and in the limit they segregate. Therefore, a free boundary problem arises for the interfaces between these regions. Moreover, the limiting profiles satisfy a system of parabolic differential inequalities. In this thesis, we focus on the one-dimensional case with periodic boundary conditions, and extend to this setting the free boundary analysis that has already been carried out for the one-dimensional Dirichlet case. Differently from that situation, where convergence to a stationary state holds for every initial segregated configuration, the long term dynamics in the strong competition limit depends in the periodic setting on the pattern of interactions between the populations. In particular, we identify a condition on the interactions that ensures that convergence to a stationary state holds. The analysis is complicated by the degeneracy in the set of stationary solutions introduced by the rotational invariance of the domain. To prove our result, we combine energy methods, regularity techniques and a property of linear parabolic equations in one dimension, namely the monotonicity of the number of zeros of solutions.

Studiamo il limite di competizione forte per un sistema di competizione-diffusione di tipo Lotka-Volterra evolutivo con applicazioni in dinamica delle popolazioni. Al crescere dell'intensità delle interazioni, le popolazioni tendono a concentrarsi su domini separati e, al limite, vanno incontro a segregazione. Di conseguenza, emerge un problema a frontiera libera per le interfacce di tali regioni. Inoltre, le densità limite soddisfano un sistema di disuguaglianze differenziali paraboliche. In questa tesi, ci concentriamo sul caso unidimensionale con condizioni al contorno periodiche. L'analisi della frontiera libera, già effettuata nel caso Dirichlet, è estesa a questo contesto. Per quanto riguarda il comportamento per tempi lunghi, è noto che nel caso Dirichlet ogni configurazione iniziale segregata converge a uno stato stazionario per qualsiasi scelta dei parametri di competizione. Nel caso periodico, invece, la dinamica asintotica nel limite di competizione forte dipende dalla natura della competizione. In particolare, identifichiamo una condizione sulle interazioni che assicura la convergenza a uno stato stazionario. L'analisi è complicata dalla degenerazione dell'insieme delle soluzioni stazionarie indotta dall'invarianza per rotazioni del dominio. Per provare il risultato di convergenza, combiniamo stime dell'energia, tecniche di regolarità e una proprietà delle equazioni paraboliche lineari in una dimensione spaziale, che consiste nella monotonia del numero di zeri delle soluzioni.