Proprietà spettrali delle matrici di correlazione per tassi d'interesse

Interest rates, described in terms of their yield curve, are valuated by their correlation matrix e the most used tool is the principal component analysis (PCA); through this methodology it is possible to identify the factors which can explain the evolution of yield curve. These factors, which are the eigenvectors of the correlation matrix, are known as shift, slope and curvature due to the peculiar structure that characterizes them. This work, initially, summarizes the basic definitions for the analysis of yield curves, of correlation matrices and the principal eigenvectors: shift, slope and curvature. Furthermore, defines the properties of correlation and in particular the total positivity and characteristics of totally positive matrices. Later on, proposes a detailed analysis of relationship between the characteristics of correlation and the existence of shift, slope and curvature: in case that it is only relevant the sign of their components, “Weak SSC”, in case that it is also considered the ordering of eigenvectors’ components, SSC. The results shows how the presence of SSC, excluding some cases with particular behavior related to the low dimension, cannot be directly related to the classical assumption about the correlation structure of interest rates. Furthermore, the results provide estimates for the first eigenvector in the particular case of equality of all its elements, analyzing the properties of equicorrelation. Finally has proved the existence of the WSSC for a significant class of models, derived from a generalization of the exponential model. Structure of Work: •Chapter 1. Introduction; •Chapter 2. Bond markets, yields, discount rates and time indexes; •Chapter 3. Yield curves, measurement of yield curves and changes over time through principal components analysis (PCA); •Chapter 4. Correlation matrices, key eigenvectors (shift, slope and curvature) and total positivity; •Chapter 5. Model on the correlations behavior and the existence of non-homogeneous SSC in relation to total positivity. Estimate of the first eigenvector of the correlation matrix. Proof of total positivity in an extension of the exponential model; •Chapter 6. Concluding remarks and possible future developments of the proposed work; •Chapter 7. Bibliographic review.

I tassi d’interesse, descritti attraverso la loro curva dei rendimenti, sono valutati in base alla relativa matrice delle correlazioni e lo strumento più utilizzato per l’analisi delle componenti principali (PCA), attraverso questa metodologia è possibile individuare i fattori che spiegano l’evoluzione della curva dei rendimenti. Questi fattori, che sono gli autovalori della matrice di correlazione, prendono il nome di shift, slope e curvature a causa della struttura peculiare che li caratterizza. Questo lavoro inizialmente propone una sintesi delle definizioni di base per l’analisi delle curve di rendimento, delle matrici di correlazione e degli autovettori principali: shift, slope e curvature. Inoltre, definisce le proprietà delle matrici di correlazione ed in particolare la totale positività e le caratteristiche delle matrici totalmente positive. In seguito propone un’analisi dettagliata delle relazioni tra le caratteristiche delle matrici di correlazione e l’esistenza di shift, slope e curvature: nel caso in cui sia rilevante solo il segno delle componenti, “Weak SSC”, e nel caso in cui sia considerato anche l’ordinamento delle componenti degli autovettori, SSC. I risultati mostrano come la presenza della SSC, esclusi alcuni casi con comportamento particolare collegabile alla piccola dimensione considerata, non possa essere direttamente connessa alle classiche assunzioni sulla struttura delle correlazioni dei tassi d’interesse. Inoltre, i risultati forniscono le stime per il primo autovettore nel caso particolare di uguaglianza di tutti i suoi elementi, analizzando le proprietà dell’equicorrelazione. In fine è dimostrata l’esistenza della WSSC per una rilevante classe di modelli, che deriva da una generalizzazione del modello esponenziale. Struttura del lavoro: •Capitolo 1. Introduzione; •Capitolo 2. Mercati obbligazionari, rendimenti, dei tassi di sconto e gli indici temporali; •Capitolo 3. Curve di rendimento, misurazione delle curve di rendimento e l’evoluzione nel tempo per mezzo dell’analisi delle componenti principali (PCA); •Capitolo 4. Matrici di correlazione, autovettori principali (shift, slope e curvature) e totale positività; •Capitolo 5. Modello riguardante il comportamento non omogeneo delle correlazioni e l’esistenza della SSC in relazione alla totale positività. Stima del primo autovettore della matrice di correlazione. Dimostrazione della totale positività per l’estensione del modello esponenziale; •Capitolo 6. Riflessioni conclusive e possibili futuri sviluppi del lavoro proposto; •Capitolo 7. Rassegna bibliografica.