Pricing e risk management dei prodotti derivati su tassi di interesse nel quadro multicurve

Since the subprime crisis of 2007, massive arbitrages have raised the question of the traditional valuation theory for rate products. It is now widely recognised that a unique rate curve is no longer enough to reproduce the behaviour of the market of interest rates and that it is necessary to consider several curves to estimate forward rates of di erent tenors. In this report, we shall rst present the multi curve model in terms of vanilla option prices and general pricing methods then we shall tackle the question of the construction of several curves. Finally, we shall get into more details for the Kenyon model, a multi curve extension of the one factor Hull-White model that will allow us to have a theoretical framework to price bermudan swaptions thanks to a 2 dimensional PDE and an ADI numerical method. In particular, in Chapter 1 we will detail the multi-curve problematic, giving some examples that gave rise to the problem (the cotations of the forward swap rates Euribor vs Eonia, the FRA rates vs Forward rates and the basis swaps) and describing the market evolution in the pricing of interest rate derivatives. In Chapter 2 we will introduce the bootstrapping procedure to build the yield curves. First we will illustrate the market instruments used for the calibration procedure, then we will show the di erence between the mono-curve and the multi-curves frameworks in the construction procedure, giving numerical examples. In Chapter 3, we shall rst recall the HJM framework, then we shall illustrate the Hull-White 1 and 2 factors models and nally we shall detail the Kenyon framework. We will demonstrate the existence of an analytical formula for the pricing of an European Swaption. In Chapter 4 considering the Kenyon framework, for an interest rate derivative we will write the 2-dimensional PDE associated to the state variables and we will solve numerically the problem thanks to the ADI method to price a Bermudan Swaption.

A partire dalla crisi dei subprimes del 2007, numerose violazioni delle condizioni di non arbitraggio sono state osservate sul mercato e hanno quindi rimesso in discussione le fondamenta della teoria tradizionale della valorizzazione dei prodotti su tassi di interesse. E ormai riconosciuto che una sola curva di tassi di interesse non e pi u su ciente per riprodurre il comportamento del mercato dei tassi e che e pertanto necessario considerare numerose curve con cui calcolare i tassi forward di tenori diversi. In questa tesi, presenteremo inizialmente la problematica multi-curve in termini di prezzi di mercato delle opzioni vaniglia e di metodologia generale di pricing. In seguito a ronteremo la questione della costruzione di numerose curve ed in ne descriveremo il modello di Keyon, estensione al quadro multi-curve del modello Hull-White 1 fattore che ci fornir a il quadro teorico per valorizzare una swaption bermuda grazie ad un' EDP bidimensionale e ad un metodo numerico di tipo ADI. In particolare, nel Capitolo 1 parleremo in dettaglio della problematica multi-curve, fornendo alcuni degli esempi concreti che hanno messo in luce il problema (le quotazioni dei tassi di swap forward Euribor vs Eonia, dei tassi FRA vs tassi forward e dei basis swap) e descrivendo l'evoluzione del mercato per quanto riguarda il pricing dei derivati su tassi di interesse. Nel Capitolo 2 introdurremo la procedura di bootstrap utilizzata per costruire le curve. In primo luogo illustreremo gli strumenti di mercato utilizzati per la calibrazione delle curve, in secondo luogo mostreremo la di erenza tra il quadro mono-curva e multi-curve per quanto riguarda la procedura di costruzione, fornendo esempi numerici. Nel Capitolo 3 faremo inizialmente dei richiami del quadro HJM, in seguito illustreremo i modelli Hull-White 1 fattore e 2 fattori ed in ne descriveremo in maniera dettagliata il modello di Kenyon. Dimostreremo inoltre, nel quadro di Kenyon, l'esistenza di un'espressione analitica per valutare il prezzo di una swaption europea. In ne nel Capitolo 4, sempre considerando il quadro teorico di Kenyon, scriveremo l'EDP bidimensionale associata alle variabili di stato per un prodotto derivato su tasso di interesse e risolveremo numericamente il problema grazie al metodo ADI per calcolare il prezzo di una swaption bermuda.